Обобщенный закон Ома

Сторонние силы. Если бы все действующие на носители тока силы сводились к силам электростатического поля, то под действием этих сил положительные носители перемещались бы из мест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители двигались бы в обратном направлении. Это вело бы к выравниванию потенциалов, и в результате все соединенные между собой проводники приобрели бы одинаковый потенциал — ток прекратится. Иными словами, при наличии лишь кулоновских сил стационарное поле должно быть полем статическим.

Чтобы этого не произошло, в цепи постоянного тока наряду с участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала, должны иметься участки, на которых перенос положительных носителей происходит в сторону возрастания потенциала, т. е против сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен лишь с помощью сил не электростатического происхождения. Это так называемые сторонние силы. Всякое устройство, в котором возникают сторонние силы, называют источником тока. Источниками тока являются, например, гальванические элементы (рис.4.5).

Рис.4.5 Электрическая цепь с гальваническим элементом

Если кулоновские силы вызывают соединение разноименных зарядов, выравнивание потенциалов и исчезновение электрического поля в проводнике, то сторонние силы вызывают разделение разноименных зарядов и поддерживают разность потенциалов на концах проводника. Сторонние силы действуют на носители тока внутри источников электрической энергии.

Под действием сторонних сил носители тока движутся внутри источника электрической энергии против сил электрического поля, так что на концах внешней цепи поддерживается постоянная разность потенциалов и в цепи идет постоянный ток. Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затрачиваемой в источнике электрической энергии.

Таким образом, для поддержания постоянного тока необходимы сторонние силы, действующие либо на отдельных участках цепи, либо во всей цепи. Физическая природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены, например, химической и физической неоднородностью проводника — таковы силы, возникающие при соприкосновении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др.

Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил и его напряженность . Этот вектор численно равен сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд.

Теперь обратимся к плотности тока. Если под действием электрического поля в проводнике возникает ток плотности , то очевидно, что под совместным действием поля и поля сторонних сил плотность тока

(4.8)

Это уравнение обобщает закон (4.3) на случай неоднородных участков проводящей среды. Оно выражает обобщенный закон Ома в локальной форме.

Введем понятие неоднородный участок цепи. Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы.

Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна S, причем S может быть и не одинаковой по длине провода.

Разделим уравнение (4.8) на . Полученное выражение, умножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направлению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положительное). Затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2:

Рассмотрим подробнее физический смысл всех членов, входящих в это уравнение. Первый интеграл, стоящий в правой части уравнения, численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заряда вдоль участка цепи 1-2. В электростатике было показано, что

,

где - потенциал электростатического поля. Таким образом,

,

где - потенциалы в сечениях 1и 2; − падение потенциала вдоль участка цепи 1−2.

Аналогичный линейный интеграл, содержащий вектор называется электродвижущей силой (э.д.с.) , действующей на участке цепи 1−2:

Электродвижущая сила численно равна работе, совершаемой сторонними силами при перемещении на участке цепи 1−2 единичного положительного заряда.

Эту работу производит источник электрической энергии. Поэтому можно также называть электродвижущей силой источника электрической энергии, включенного на участке цепи 1−2. Размерность э.д.с. совпадает с размерностью напряжения, поэтому э.д.с. выражают в тех же единицах, что и напряжение, т.е. в вольтах (В).

Физическая природа электродвижущих сил в различных источниках различна. Так, например, в гальванических элементах – это силы молекулярного взаимодействия, в термоэлектрических явлениях – силы давления электронного газа, в электромагнитной индукции – силы электрического поля (однако не электростатического, а вихревого).

Напряжением на участке цепи 1-2 называется физическая величина U ₁₂, численно равная суммарной работе, совершаемой кулоновскими и сторонними силами при перемещении по участку цепи 1-2 единичного положительного заряда:

или

Введенное понятие напряжения не совпадает с тем, которым иногда пользуются в электростатике для обозначения разности потенциалов, а является его обобщением. Напряжение на участке цепи равно разности потенциалов только в том случае, если на этом участке не приложена э.д.с., т.е. не действуют сторонние силы.

Преобразуем интеграл, стоящий в левой части

.

Этот интеграл называется электрическим сопротивлением цепи 1−2. Для однородного проводника постоянного сечения и

где l ₁₂ – длина проводника между сечениями 1 - 2.

Окончательно получим

или (4.9)

где I ₁₂= I >0, если электрический ток идет по участку цепи от сечения 1 к сечению 2, в противном случае I ₁₂=− I <0.

Уравнение (4.9) является математической записью обобщенного закона Ома для участка цепи электрического тока:

произведение электрического сопротивления участка цепи на силу тока в нем равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и э.д.с. всех источников электрической энергии, включенных на рассматриваемом участке.

Этот закон был экспериментально установлен немецким физиком Г.Омом (1826) и им же теоретически обоснован (1827).

Этот закон еще называют законом Ома для неоднородного участка цепи.

Уравнение (4.1) выражает интегральную форму закона Ома для неоднородного участка цепи в отличие от уравнения (4.9), представляющего тот же закон в дифференциальной (локальной) форме.

Обобщенный закон Ома выражает закон сохранения и превращения энергии применительно к участку цепи электрического тока. Он в равной мере справедлив как для участков электрической цепи, не содержащих источников электрической энергии и называемых пассивными участками, так и для активных участков, содержащих указанные источники.

Пользуясь обобщенным законом Ома, нужно соблюдать следующее правило знаков для э.д.с. источников, включенных на участке цепи 1−2: если напряженность поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка (т.е. внутри источника обход связан с перемещением от катода к аноду), то при подсчете э.д.с. этого источника нужно считать положительной (рис.4.6 а), а в противном случае – отрицательной (рис.4.6,б).

а) б)

Рис.4.6 Показано применение правила знаков для э.д.с. источников

Обобщенный закон Ома можно также представить в форме

(4.10)

Во всех сечениях неразветвленной замкнутой электрической цепи сила тока одинакова. Такую цепь можно рассматривать как участок, концы которого (сечения 1 и 2) совпадают, так что - сопротивление всей цепи. Поэтому закон Ома для замкнутой цепи имеет вид

или , (4.11)

где - алгебраическая сумма всех э.д.с., приложенных в этой цепи.

Пусть замкнутая цепь состоит из источника электрической энергии с э.д.с. и внутренним сопротивлением r, а также внешней части цепи, имеющей сопротивление R (рис. 4.5).

Рис.4.7 Замкнутая электрическая цепь

Силу тока в цепи найдем по закону Ома (4.7): . Разность потенциалов на электродах источника равна напряжению на внешней части цепи:

(4.12)

Если с помощью ключа цепь разомкнуть (R значительно больше r), то ток в ней прекратится и, как видно из (4.12), разность потенциалов на клеммах источника будет равна его э.д.с (U= ). Это позволяет весьма просто определить э.д.с. любого источника и лежит в основе всех методов измерения э.д.с.

Чтобы пояснить смысл формулы (4.12), рассмотрим распределение потенциала в цепи гальванического элемента. При разомкнутой цепи (нет тока) потенциал внутри металлических электродов, проводов и в толще электролита (где нет сторонних сил) постоянен (рис 4.8, а). В тонких же пограничных слоях между электродами и электролитом существуют сторонние силы, вызывающие быстрое изменение (скачки) потенциала ₁ и ₂. Сумма этих скачков равна напряжению между электродами и представляет собой полную э.д.с. элемента. При замыкании точек а и б цепи получается распределение потенциала, показанное на рис. 4.8, б. Из рисунка видно, что в этом случае напряжение между точками 2 и 1 (между электродами) уже не равно 1 + 2, а уменьшается на величину падения напряжения внутри элемента .

Обратим еще внимание на то, что заряды в замкнутой цепи движутся кругообразно: во внешней цепи положительные заряды перемещаются от положительного электрода к отрицательному, а внутри источника – от отрицательного к положительному. Из рис 4.8, б видно, что в толще электролита это соответствует движению от более высокого потенциала к более низкому, т.е. так же, как и во внешней цепи. В пограничных же слоях, где имеются скачки потенциала, положительные заряды движутся в направлении увеличения потенциала, что осуществляется с помощью сторонних сил.

Если внешнее сопротивление R намного меньше r, то из (4.12) следует, что U много меньше . Если R →0, то и U →0. Случай, когда R много меньше r называется коротким замыканием источника. При этом сила тока делается максимальной:

(4.13)

Из этого выражения следует, что качество источника определяется не только его э.д.с. но и внутренним сопротивлением.

Покажем, что вольтметр, подключенный параллельно какому – либо участку электрической цепи постоянного тока, измеряет разность потенциалов на концах этого участка (рис.4.9).

Рис.4.9. Вольтметр, подключенный параллельно участку электрической цепи

Напишем обобщенный закон Ома для участка 1−2:

.

Аналогично, по тому же закону, записанному для участка 1-2 цепи вольтметра, на котором нет э.д.с.,

где R_в и I_в – сопротивление вольтметра и ток в нем. Таким образом, ток в вольтметре пропорционален именно разности потенциалов на участке 1−2 электрической цепи, а не напряжению . В случае пассивного участка цепи , так что разность потенциалов и напряжение на таком участке равны друг другу.

Источники тока могут быть соединены последовательно и параллельно. Сила тока в цепи при последовательном соединении n различных источников (рис.4.10) определяется так:

, (4.14)

где - э.д.с. источников; - внутренние сопротивления источников.

Рис.4.10 Батарея из n последовательно соединенных источников, питающих нагрузку R.

При параллельном соединении n одинаковых источников (рис.4.11), сила тока определяется так:

(4.15)

Рис 4.11. Батарея из n параллельно соединенных одинаковых источников тока.