Кут між прямою і площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини

Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою та її проекцією на дану площину. Нехай площина П і пряма задані рівняннями

і .

Позначимо гострий кут між прямою та її проекцією на площину П (рис. 4) через j, а кут між нормальним вектором площини П та напрямним вектором прямої – через . Якщо , то , тому ; якщо ж , то і . Отже, в будь-якому випадку . Але , тому кут між прямою і площиною знаходиться за формулою

(14)

Приклад. 6. Обчислити кут між прямою і площиною .

… Використаємо формулу (14), в якій А= 1, В= 2, С=- 3, m= 3, n= 4, p= 2, то

. †

Якщо пряма і площина П паралельні, то вектори і перпендикулярні, тому , тобто

. (15)

Формула (15) називається умовою паралельності прямої і площини.

Приклад 7. Довести, що пряма паралельна площині .

… Нормальний вектор площини має координати , а напрямний вектор прямої – . Знайдемо їхній скалярний добуток і за формулою (15) отримаємо, що дана пряма і площина паралельні, що і треба було довести. †

Якщо пряма перпендикулярна площині П, то вектори і паралельні, тому має місце співвідношення

, (15)

яке називається умовою перпендикулярності прямої і площини.

Приклади. 8. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно прямій .

… Очевидно, що за нормальний вектор шуканої площини можна взяти паралельний йому напрямний вектор прямої . Залишається використати формулу (11.3) – рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно вектору або . †

Через точку провести пряму, перпендикулярну площині . Обчислити напрямні косинуси цієї прямої.

… Візьмемо за напрямний вектор шуканої прямої паралельний йому нормальний вектор даної площини. Знаючи координати точки, через яку проходить пряма та її напрямний вектор, запишемо за формулою (3) канонічні рівняння цієї прямої . Напрямні косинуси прямої знайдемо за формулою (5):

, , . †

Для визначення точки перетину площини П і прямою , які задані рівняннями і , потрібно скласти параметричні рівняння прямої, розв’язати систему, складену з отриманих рівнянь прямої та рівняння площини, і проаналізувати її:

§ якщо

(16)

маємо умову перетину прямою площини;

§ якщо і , то пряма паралельна площині;

§ якщо

(17)

то маємо умову належності прямої площині.

Приклади. 9. Знайти точку перетину прямої з площиною .

… Запишемо рівняння прямої в параметричній формі: поклавши , отримаємо Підставивши отримані значення змінних х, у, z в рівняння площини, маємо , звідки . Підставивши тепер отримане значення в параметричні рівняння прямої, отримаємо . Отже, – шукана точка перетину прямої і площини. †

Довести, що пряма лежить в площині .

… Використовуючи умову (17), коли , знаходимо і , отже, умови (17) виконуються, значить, пряма лежить в площині, що і треба було довести. †

11.27. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму і точку .

… Використовуючи рівність (11.10), запишемо рівняння пучки площин, що проходять через дану пряму: . Так як координати точки М повинні задовольняти рівняння площини, то підставивши їх в отримане співвідношення , , , маємо , або , звідки . Підставляючи тепер в рівняння пучки значення , одержимо . †

З початку координат опустити перпендикуляр на пряму .

… Використовуючи умову (15) перпендикулярності прямої і площини та поклавши , , , , складемо рівняння площини, що проходить через початок координат і є перпендикулярною заданій прямій. Це рівняння має вигляд . Знайдемо точку перетину отриманої площини і заданої прямої. Параметричне рівняння прямої записується так: . Для визначення t маємо рівняння , звідки . Координати точки перетину , тобто . Залишається скласти рівняння прямої, що проходить через початок координат і через точку М; використовуючи співвідношення (6), отримаємо або . †

Знайти точку N, симетричну точці відносно площини .

… Запишемо рівняння довільної прямої, що проходить через точку М: . Координати напрямного вектора прямої, перпендикулярної площині, можна замінити координатами нормального вектора цієї площини. Тоді рівняння цієї прямої запишеться у вигляді . Знайдемо проекцію точки М на дану площину, розв’язавши систему Перепишемо рівняння прямої в параметричному вигляді Підставляючи ці вирази в рівняння площини, знайдемо , звідки , , . Координати симетричної точки знайдемо з формул , , , тобто , , , отже, , , . Значить, . †

Знайти точку N, симетричну точці відносно прямої .

… Рівняння площини, що проектує точку М на дану пряму, має вигляд . Координати нормального вектора площини, перпендикулярної прямій, замінимо координатами напрямного вектора даної прямої; тоді отримаємо або . Знайдемо проекцію точки М на пряму, для чого розв’яжемо систему рівнянь Параметричні рівняння даної прямої мають вигляд Підставляючи x, y і z площини, знайдемо . Звідси , , . Тоді координати симетричної точки можна знайти, використовуючи формули для координат середини відрізка , , , звідки , , , отже, . †

. Через пряму провести площину, паралельну прямій .

… Запишемо рівняння першої із заданих прямих за допомогою рівняння двох площин, що проектують її відповідно на площини Оху і Oyz:

або

Рівняння пучки площин, що проходять через цю пряму, має вигляд або . Використовуючи умову паралельності прямої і площини, визначимо так, щоб відповідна площина пучки була паралельною другій із заданих площин. Маємо , або , звідки . Таким чином, шукана площина визначається рівнянням . †

Знайти рівняння проекції прямої на площину .

… Запишемо рівняння заданої прямої у вигляді рівнянь двох площин, що проектують її відповідно на площини Оху і Oхz:

або

Рівняння пучки площин, що проходять через дану пряму, має вигляд або . Використовуючи умову перпендикулярності площин, виберемо з цієї пучки площину, яка проектує дану пряму на задану площину. Маємо , або , звідки . Отже, рівняння площини, що проектує пряму, має вигляд , або . Шукану проекцію можна визначити як лінію перетину двох площин – заданої і тієї, що проектує, Звівши ці рівняння прямої до канонічного вигляду, одержимо .