Взаємне розташування прямих в просторі

Нехай прямі задані канонічними рівняннями

і .

Кут між цими прямими (рис. 11.7) дорівнює куту j між їхніми напрямними векторами і , тому одержимо:

1) формулу для знаходження кута j між прямими і :

; (10)

2) умову паралельності прямих і :

; (11)

3) умову перпендикулярності прямих і :

. (12)

Приклади. 4. Знайти кут між прямими і .

… За формулами (9) та (2) знайдемо напрямні вектори даних прямих і . За формулою (10) . †

. При яких значеннях і прямі та паралельні?

… З умови (11) маємо , звідси і . †

Необхідною і достатньою умовою розташування двох прямих і , заданих своїми канонічними рівняннями, одній площині (умовою компланарності двох прямих) є виконання рівності

. (13)

Якщо відповідні координати напрямних векторів прямих і не пропорційні, тобто умова (11) не виконується, то співвідношення (13) є необхідною і достатньою умовою перетину двох прямих у просторі.

Приклад. 5. В рівняннях прямої визначити параметр п так, щоб ця пряма перетиналася з прямою , і знайти точку їхнього перетину.

… Так як відповідні координати напрямних векторів даних прямих і не є пропорційними, то прямі перетинаються. Для знаходження параметра п використаємо умову (13) перетину двох прямих; поклавши і , отримаємо

.

Щоб знайти точку перетину даних прямих, виразимо з рівняння першої прямої х і у через z: . Підставляючи ці значення в першу частину рівняння другої прямої , одержимо . Знаючи z, знайдемо . Отже, точка перетину даних прямих має координати . †