Некоторые задачи

В зависимости от характера заданной фигуры, в которую предстоит

вписатьокружности, используют касательные и биссектрисы, а для

заданных окружностей –прямые, делящие её на равные части.

Задача 1. Вписать в данную окружность k три равные касательные

окружности (рис. 57).

1. Проводим вертикальный диаметр и делим окружность на шесть равных частей, начиная от от верхнего его конца 1; нумеруем точки деления и соединяем их с центром О.

2. На пересечении касательной t(t É 1) и прямой 5-2 отмечаем т. А.

3. Полученный угол φ делим биссектрисой b пополам.

4. Пересечение биссектрисы с вертикальным диаметром 1-4 определяет центр О₁ первой касательной окружности. Положение остальных центров О₂ и О₃ и построение вписанных окружностей, проведённых из них, понятно из чертежа.

Рис. 57 Рис. 58Рис. 59

Задача 2. Вписать в данную окружность k четыре равные касательные окружности (рис. 58).

1. Делим окружность на восемь равных частей и, нумеруя точки

деления, соединяем их с центром О.

2. На пересечении касательной t (t É 1) и прямой 6-2 находим т. А.

3. На пересечении биссектрисы b угла φ и диаметра 1-5 определяется

центр О₁ первой касательной окружности. Положение остальных

центров О₂, О₃ и О₄ и проведение из них вписанных окружностей,

ясно из чертежа.

Задача 3. Вписать в данную окружность k пять равных касательных окружностей (рис. 59).

1. Делим окружность на десять равных частей и, нумеруя точкиделения,

соединяем их с центром О.

Дальнейшее решение задачи аналогично предыдущему.

Задача 4. Вписать в равнобедренный треугольник АВС не менее семи касательных окружностей (рис. 60).

Рис. 60

1. Из вершины В опускаем перпендикуляр на сторону АС и находим его

основание – точку Е

2. Строим биссектрису угла ВСА и отмечаем точку О₁ её пересечения с

прямой ВЕ.

3. Проводим первую касательную окружность из т. О₁ с радиусом

О₁Е= О₁К.

4. Через т. М проводим касательную n к вписанной окружности (n ^ a).

5. Строим биссектрису а^' угла, заключённого между прямыми n и АС.

6. В пересечении прямых а и а' находим центр О₂ второй касательной

окружности.

Дальнейшие построения производятся аналогично.

Задача 5. Вписать в область, отсечённую от круга k прямой m не менее

семи касательных окружностей (рис. 61).

1. Строим прямую n (n É О), перпендикулярную прямой m и в их

пересечении отмечаем т. Е.

2. Делим отрезок ЕК пополам и находим, тем самым, центр О₁

первой касательной окружности.

3. Проводим касательную t₁ (t₁ É L) к первой окружности.

4. Проводим биссектрису b угла, заключённого между прямыми m и t₁.

5. На пересечении прямой b и дуги радиуса R^' =LB находим центр О₂

второй касательной окружности.

Центры последующих касательных окружностей находим аналогичным

образом.

Рис. 61

Задача 6. Описать около данной окружности k три равные касательные окружности (рис. 62).

1. Делим данную окружность на три равные части точками А, В и С, через

которые проводим радиальные прямые.

2. Через т. Е проводим касательную t к окружности, которая пересекается с

радиальной прямой m (ОС) в т. К.

3. Строим биссектрису b угла, заключённого между прямыми t и m.

4. Находим т. L в пересечении биссектрисы b и вертикальной оси i É В.

5. Проводим окружность e радиуса OL и в её пересечении с радиальными

прямыми, проходящими через тт. А, В и С находим центры О₁, О₂ и О₃

искомых окружностей.

Рис. 62