Краткая теория. Лабораторная задача QM-7

Лабораторная задача QM-7

Распад связанного состояния частицы.

Краткая теория.

Пусть частица находится в потенциальном поле, представленном на рисун-

ке 7.1. По классическим представлениям если энергия частицы E<U₀, как показано на рис. 7.1, то частица движется в области I потенциального поля.

Поведение квантовой частицы рассмотрим на примере решения стационар-

ного уравнения Шредингера для кусочно-непрерывного потенциального

поля

(7.1)

Пусть также выполнены условия:

Физический смысл первого из этих условий заключается в том, что в по-

тенциальной яме 0 < x < a существует уровень энергии (более правиль-

но было бы говорить о квазиуровне) с величиной Е < U₀. Второе условие

означает, что прозрачность потенциального барьера a < x < b экспонен-

циально мала.

Как обычно это делается при решении уравнения Шредингера для части-цы, находящейся в кусочно-непрерывном потенциальном поле, разобьем об-

ласть 0 < x < ¥ на три области (смотри рис. 7.1). Решение стационарного

уравнения Шредингера в каждой из трех областей имеет вид:

, (7.2)

,

где .

При записи этих решений было учтено, что в области III существует толь-

ко уходящая от барьера волна, возникающая в результате просачивания час-

тицы через потенциальный барьер. Кроме этого, принято для области I, что

ψ₁=0 при x=0, так как в этой точке U → ¥.

Из условия непрерывности волновой функции и ее первых производных на

границах барьера находим:

A₁ sin ka = A₂ + B₂,

A₂ cos ka =

, (7.3)

.

Условие совместимости этой системы приводит к следующему уравнению:

. (7.4)

При b – a → ¥ прозрачность барьера стремится к нулю, а уравнение (7.4)

сводится к уравнению для определения дискретных энергетических уровней

в потенциальной яме в области I. Это уравнение имеет вид:

(7.5)

Приближенное решение уравнения (7.4) при выполнении условий ka>>1

и χ(b-a)>>1 может быть записано в виде:

k = k₀ - iδ, (7.6)

где δ<< k₀, а k₀ – решение уравнения (7.5).

Из (7.4) следует, что в первом приближении по

δ a ~ . (7.7)

Переходя к энергиям, получим:

, (7.8)

где - энергия уровня при нулевой прозрачности барьера.

Наличие мнимой части в (7.8) означает убывание по экспоненциальному

закону вероятности обнаружить частицу внутри потенциальной ямы

(область I на рис. 7.1). Действительно, для величины |ψ(x,t)|² имеем

|ψ(x,t)|²~ . (7.9)

Полученные выражения позволяют связать между собой постоянную рас-

пада δ и прозрачность барьера D:

,

где . (7.11)

Учитывая, что , где V – скорость частицы, выражение (7.10) мож-

но записать в виде . (7.12)

Здесь - частота соударений частицы со стенками, расстояние между которыми равно а. Поэтому выражение (7.12) может быть понято следу-

ющим образом. Частица сталкивается с частично прозрачной стенкой с

частотой . При этом с вероятностью D она туннелирует через барьер.

Поэтому среднее время жизни частицы в яме равно . Вероятность

обнаружения частицы внутри потенциальной ямы уже не будет постоянной,

а будет зависеть от времени. Такие состояния называются квазистационар-ными. Легко видеть, что при возрастании ширины барьера b-a вероятность

туннельного эффекта экспоненциально падает, вследствие чего время жизни

τ растет. Существенно, что энергия частицы внутри потенциальной ямы уже

не имеет строго определенного значения: энергетические уровни оказывают-ся размытыми. Ширину уровней можно определить с помощью соотношения

неопределенностей:

ΔЕ·τ ~ ћ (7.13)

С увеличением проницаемости барьера τ убывает, что приводит к возраста-нию ширины ΔЕ. И наоборот, для абсолютно непрозрачного барьера τ→¥ а ΔE→0, что соответствует стационарному состоянию с точно определен-

ным значением энегии.

Изложенная теория хорошо объясняет α- распад атомных ядер. В резудьта-те α- распада атомное ядро испускает α- частицу (т. е. ядро атома гелия). Ква-

нтовая механика объясняет α- распад как туннелирование α- частиц через по-

тенциальный барьер непрямоугольной формы. На рис. 7.2 изображена схема

потенциальной энергии α- частицы в поле радиоактивного ядра. Здесь при

r<R (внутри ядра) потенциальная энергия α- частицы равна нулю. При

r>R на α- частицу действуют силы кулоновского отталкивания с потенциа-льной энергией

,

где Ze – заряд радиоактивного ядра, 2e – заряд α- частицы. Прозрачность

потенциального барьера непрямоугольной формы вычисляется интегриро-

ванием:

(7.14)

Здесь m – масса α- частицы, E – ее энергия. Среднее время жизни радиоак-

тивного ядра вычисляется по формуле , где V – скорость α- части-цы в ядре. Расчет по этим формулам даст следующее выражение для τ,

полностью совпадающее с опытным законом Гейгера-Неттола:

, (7.15)

где А и В – постоянные.