Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Стационарное решениеСтр 1 из 6Следующая ⇒ Лабораторная задача QM-6 Движение частицы в поле прямоугольного потенциала. Краткая теория. Стационарное решение. Пусть частица, движущаяся слева направо, падает на потенциальный барьер или потенциальную яму высоты U0 (рис. 5.1). По классическим представлениям если энергия частицы E больше высоты барьера частица беспрепятственно проходит над барьером, если же E<U0, как показано на рис. 6.1, то частица отражается от барьера и движется в обратную сторону. В первом случае вероятность прохождения D = 1, а вероят-ность отражения R = 0. Во втором случае D=0, а R =1.
Совершенно иначе выглядит поведение частицы в квантовой механике. Во-первых, даже при E>U0 частица может отразиться от барьера и поле-теть в обратную сторону. Во-вторых, при E<U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет через барьер и окажется в области Ш. Такое, совершенно невозможное с точки зрения классиче-ской механики, поведение микрочастицы следует из уравнения Шредингера. Будем предполагать, что на препятствие падает поток час- тиц с фиксированной энергией. При этом коэффициент отражения опре- деляется как отношение отраженного от препятствия потока к падающ-ему. Очевидно, случай U0<0 соответствует потенциальной яме, а U0>0 - барьеру. При этом, если E>U0, то говорят о надбарьерном движении частицы, а при E<U0 – о ее туннелировании через потенциальный барьер. Рассмотрим решение уравнения Шредингера, которое для областей I и III запишется в виде (6.1), а для области II в виде (6.2): (6.1) . (6.2). Обозначив и , получим:
ψ΄΄ + k2ψ = 0, (6.3)
ψ΄΄ + χ2ψ = 0. (6.4)
Решение уравнения (6.3) для областей I и III имеет вид:
ψ1,3(x) = A1,3 e-ikx + B1,3 eikx (6.5)
Решение уравнения (6.4) для области II имеет вид: (6.6)
Коэффициенты уравнений (6.5) и (6.6) находятся из условия непрерывности волновых функций: на границе соприкасающихся областей волновые функ- ции и их производные должны быть равны (условие “сшивания” волновых функций). Произведя “сшивание” волновых функций и их первых производ- ных в точках разрыва потенциала, а также полагая В3 = 0 (т. е. считая, что отсутствует волна, падающая на барьер справа) после несложных преобразо- ваний получим следующие выражения для коэффициента прохождения:
, при E<U0 (6.7)
, при E>U0 (6.8)
Как видно, выражение (6.7) определяет вероятность туннелирования, а (6.8) описывает прохождение частиц над потенциальным барьером (ямой).
Естественно, что D + R=1, где R – вероятность отражения частицы.Проа-нализируем полученные выражения. Рассмотрим сначала случай E<U0. В классической механике частицы, падающие на такой потенциальный барьер, целиком отразились бы, то есть D = 0. В квантовой механике прозрачность D барьера не равна нулю и рассчитывается по формуле (6.7), а для случая достаточно больших значений χ2a (когда можно в выражении sh2 χ2a можно пренебречь величиной по сравнению с ) равна:
(6.9) Перейдем к анализу выражения (6.8), полученному для случая E>U0. В классической механике должно бы быть D =1. Из формулы (6.8) следует, что прозрачность D близка к единице только при условии: χ2 a = n π, n = 1,2,3,… (6.10)
Полученные результаты позволяют понять природу целого ряда явлений в физике микромира, которые не могут быть объяснены в рамках классичес-кой теории. Прежде всего это относится к α- распаду тяжелых атомных ядер и холодной эмиссии электронов с поверхности металлов,помещенных в дос- таточно сильное электрическое поле. Эти явления в квантовой механике мо- гут быть объяснены туннелированием α- частиц через потенциальный барь-ер, удерживающий их в ядре, и туннелированием электронов через барьер, возникающий при помещении металлов в сильное электрическое поле. Квантовая механика объясняет и эффект Рамзауэра – глубокий минимум ве- личины сечения упругого рассеяния электронов на атомах тяжелых инертных газов. С точки зрения квантовой механики минимум Рамзауэра связан с тем, что при определенных энергиях электрона на размере области действия атомного потенциала укладывается целое число полуволн де Брой- ля, в результате чего такие электроны проходят атом без рассеяния. Рассмотренная стационарная теория не позволяет тем не менее рас-смотреть реальную пространственно-временную картину движения части-цы через потенциальный барьер, которая является существенно нестацио-нарной. Поэтому представляет значительный интерес рассмотреть постав-ленную задачу на основе нестационарного уравнения Шредингера. Такое рассмотрение позволяет получить ответы на ряд вопросов, представля-ющих значительный практический интерес (например, длительность про-цесса туннелирования, скорости прошедших и отраженных частиц и т.д.). Данная задача сложна и не может быть решена аналитически. В работе [3] приведено численное решение нестационарного уравнения Шредингера для потенциального барьера. Предполагается, что начальное состояние частицы задается пакетом гауссовой формы с полушириной Dx, движущимся по направлению области действия потенциала со средней скоростью : (6.11)
Типичная временная картина туннелирования такого пакета через потенциальный барьер произвольной формы высоты U0 и ширины a представлена на рисунках 6.2 и 6.3. Как видно, пакет по мере приближения к области действия потенциала постепенно расплывается, но сохраняет свою форму. При попадании пакета в область действия потенциала его форма нарушается в результате формирования отраженного волнового пакета и его интерференции с падающим на препятствие пакетом. Через некоторое время формируются два пакета: отраженный и прошедший через препятствие. При этом значения коэффициентов D и R могут быть вычислены как , где интеграл берется по области классически разрешенного движения справа и слева от потенциала соответственно. Следует обратить внимание на то,
что речь идет о движении единственной частицы, которая при определении ее координат оказывается локализованной в конкретной точке пространства, а величина определяет именно распределение вероятности ее обнаруже-ния в различных точках пространства. Существенно также отметить, что отраженный волновой пакет “отстает” от отраженной от барьера классичес-кой частицы. Физически это связано с тем, что пакет частично проникает в область U0 > E (), в то время как в классическом случае отражение происходит строго в точке скачка потенциала. В каком случае представленная квантомеханическая картина совпадает с классической? Конечно, для этого необходимо чтобы прозрачность барьера была мала, то есть , где . Однако это условие является необходимым, но не достаточным, так как при (то есть для “низкого” на боль- шой протяженности потенциала) области отражения частицы с квантовой и классической точек зрения окажутся различными, что приведет к запаз-дыванию пакета по сравнению с классической материальной точкой. В качестве еще одного примера рассмотрим результаты решения задачи о движении пакета через потенциальный барьер. При указанных параметрах картина наблюдаемого процесса оказывается более сложной чем в предыдущем случае. С некоторой вероятностью происходит как бы “застревание” частицы в области действия потенциала, что приводит к формированию сразу нескольких пакетов, как отраженных от препятствия, так и прошедших через него. При этом положение классической материальной точки вообще говоря может не совпадать не с одним из пакетов. В каком соотношении находятся описанные стационарный и не- стационарный подходы с точки зрения определения величин D и R? Нестационарный подход богаче по своим возможностям. Действительно, задавая начальное состояние системы, например в виде гауссового пакета ширины а, движущегося в сторону области действия потенциала, мы не знаем точного значения импульса и энергии этой частицы. Поэтому возникает вопрос о зависимости коэффициентов D и R от степени локализации частицы в начальном состоянии. Результаты, полученные в рамках стационарного и нестационарного подходов, совпадут лишь в предельном случае сильно нелокализованного начального состояния, когда неопределенности импульса и энергии частицы окажутся несущественными.
|