Комбинированный метод

Данный метод рассмотрим на примере следующей задачи.

Задача. Решить уравнение методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения .

Решение.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

,.

Проверим выполнение неравенства: - условие выполняется

Найдём производные:

На отрезке производные и , т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.

Выберем значение для метода касательных. Т.к. и , то .

Найдём приближения корня:

а) по методу касательных

б) по методу хорд

Найдём первое приближение корня:

Проверим выполнение условия:

- условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.

Отрезок изоляции корня имеет вид: .

10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:

11. Проверим условие: - выполняется, значит можно продолжить применение метода.

12. Так как и на отрезке , то для метода касательных: .

13. Вычислим значение производной: .

14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:

15. Найдём второе приближение корня:

16. Проверим выполнение условия: - неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.

17. Отрезок изоляции корня имеет вид: .

18. Вычислим значения функции:

19. Условие - выполняется.

20. Так как и на , то для метода касательных .

21. Вычислим производную: .

22. Вычислим

23. Найдём третье приближение корня:

24. Проверим выполнение неравенства: - условие выполняется, значит, цель достигнута.

25. Следовательно, или - приближённое значение корня с точностью до 0,001.

Ответ: .

Вывод: Достоинства быстрота нахождения и меньшая затрата на приведенные итерации.

Таким образом, получили следующие выводы:

1. Рассмотренные методы уточнения корней одинаково применимы как к алгебраическим, так и к трансцендентным уравнениям;
2. Операция отделения корней значительно сложнее для трансцендентных уравнений, чем для алгебраических;
3. Наиболее эффективным из рассмотренных методов, является комбинированный метод;

Заключение

Целью данной работы было изучить и выявить достоинства и недостатки приближенных методов решения уравнений. Для реализации цели я:

1. изучил научную литературу;

2. самостоятельно решил уравнения на каждый метод;

3. выявил сильные и слабые стороны.

В дальнейшем я планирую продолжить изучение данной темы, расширив ее системами нелинейных уравнений, с помощью программы MathCad.

Список использованной литературы

· http://www.cyberforum.ru/fortran/thread919971.html

· http://www.apxu.ru/article/geoforma/obey/metod_polovinnogo_delenia_algoritm.htm

· http://life-prog.ru/1_17661_metod-hord.html

· http://life-prog.ru/1_27170_metod-nyutona-metod-kasatelnih.html

Date: 2015-06-11; view: 602; Нарушение авторских прав