Алгоритм решения задач по теме

1.

Дано :

Δ АВС ; ∠ С = 90 º;

Угол между ВС и α = 30 º

Найти двугранный угол с ребром АВ.

Решение :

1. Строим линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

СО α ; CD – наклонная к плоскости α;

OD АВ ( по построению );

СВ АВ ( по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно ∠СDО – линейный угол двугранного угла с ребром АВ ).

∠ СВО – угол наклона ВС к плоскости α.

Пусть СО = α;

1.

Рассмотрим ΔСОВ : ∠В=30 º ; СВ = 2а ( свойство катета, лежащего против угла в 30 º).

Рассмотрим ΔACD : S_Δ = 0,5*АС*СВ = 0,5*2а*2а=2а²

S_Δ = 0,5*АВ*СD;CD=2* S_Δ/АВ

АВ =√АС²+СВ² = √4а²+4а² = √8а² = 2а√2

;

3. ;

Ответ : ∠CDO=45º

2.

Дано :

Δ АВС;

АВ=АС=ВС=4см;

МО=2 см.

Найти : 1. Угол между ( ВМС) и ( АВС )

2.Угол между МС и (АВС)

Решение :

Так как точка М равноудалена от всех сторон треугольник АВС , то ее проекцией на плоскость ( АВС ) является центр вписанной окружности, следует ОК=ON = OL =r;

ОК ВС ( радиус , проведенный в точку касания) ; ОМ ( АВС );

МК – наклонная к ( АВС ) ;

ОК = пр. _{( АВС )} МК ; ОК ВС следует, что МК ВС следует ,что ∠ МКО – линейный угол двугранного угла МСВО.

2)Рассмотрим Δ МОК ;

		К
	О

;

;

∠ МКО= 60º

3) Угол между МС и плоскостью ( АВС ) равен углу МСО.

ОС=R; R=2r ;

Ответ : ∠ МКО= 60º;

Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант № 1

1) Дан прямоугольник АВСD и точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC, если :

SB ( АВС )

О – точка пересечения диагоналей, SO ( АВС ).

2) Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ =2 см.; ∠ ВАС = 150º ; и двугранный угол ВАСВ1 = 45 º.

Вариант № 2

1) ABCD - ромб; BD=8см; двугранный угол с ребром BD = 45º. Найти площадь ромба.

2) В параллелограмме ABCD ∠АDC=150º; АD=16см; DC=12см; SC ( АВС ); SC=18см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

Вариант № 3

1) Дан куб ABCDА1В1С1D1; (ABCD – нижнее основание ). Найдите величину угла между плоскостью грани АВВ1А1 куба и плоскостью, проходящего через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра DC куба.

2) Плоскость α проходит через сторону АС треугольника АВС под углом 30º к плоскости треугольника. Найти расстояние от вершины В до плоскости α, если ВС = 6 см; ∠С=120º.

Вариант № 4

1) В тетраэдре DABC все ребра, кроме АВ, имеют равные длины. ∠АСВ=90º. Найдите величину двугранного угла при ребре ВС.

2) Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BACD =90º. Найдите сторону ромба, если ∠BAD=45º и расстояние от точки В до плоскости ADM = 4√3см.

Вариант № 5

1) Найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

а) BS ( ABC ); ∠ C=90º; BC= BS=6см.

б) BS ( ABC ); АВ=ВС=10см; BS=АС=12см.

2) ABCD – прямоугольник . S=48см² ; DC=4см; OS (АВС); OS=6см. найти величину двугранного угла с ребром DC.

Вариант № 6

1) Дан прямоугольник ABCDи точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC если : SB (АВС); О – точка пересечения диагоналей, прямая SO (АВС).

2) Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника АВС, сторона которого 4см. Расстояние от точки М до плоскости ( АВС ) равно 2 см. Найдите угол между плоскостью ( ВМС ) и плоскостью ( АВС ) и угол между МС и плоскостью ( АВС ).

6. Решение стереометрических задач на тему « Двугранный угол »

1) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 является квадратом со стороной 3, а пространственная диагональ параллелепипеда равна . Найдите угол между плоскостью A1B1C1D1 и плоскостью ADC1

Дано: - прямоугольный параллелепипед

ABCD – квадрат

AB=3

B₁D=

Найти угол между плоскостями (A1B1C1D1) и (ADC1)

Решение

Двугранный угол С₁ADC. Строим его линейный угол. ; - наклонная к плоскости ; (стороны квадрата) по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах , значит - линейный угол двугранного угла .

Ответ:

2) Диаметр и хорда AB основания конуса равны соответственно 26 и 24, тангенс угла между образующей и основанием конуса равен 8. Найдите тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.

Дано: SAC – конус

AC=26

AB=24

Найти:

Решение

1)

		B

- медиана на .

;

Ответ:

3) Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 – ромб ABCD со стороной, равной 7. Площадь ромба равна 28. Тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ABC1 равен 2,75. Найдите длину бокового ребра призмы.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольная призма

ABCD – ромб.

AB=7.

S ромба=28.

Найти: DD₁

Решение

1) Проведём тогда (по теореме о трёх перпендикулярах), тогда - линейный угол двухгранного угла C₁ABC.

2)

3)

Ответ: .

4) Высота прямой призмы ABCA1B1C1 с основанием ABC равна 12. Угол между прямыми BC1 и AC равен 90º , а синус угла между прямыми A1B и AC равен . Найдите тангенс угла между плоскостью BC1A и плоскостью ABC, если A1B равно 13.

Дано:

ABCA1B1C1 – прямая призма

АА1=12

Найти:

Решение

Прямые DC1 и AC – скрещивающиеся.

Прямые A1B и AC – скрещивающиеся.

Двугранный угол C1ABC. Строим его линейный угол.

C1K – наклонная;

(по построению) по теореме о трёх перпендикулярах - линейный угол двугранного угла .

1

2)

			K 1

Ответ: