Теорема о сложении скоростей

Вначале сформулируем теорему, а затем докажем ее.

Скорость любой точки тела в плоском движении равна векторной или геометрической сумме скорости полюса в поступательном движении тела совместно с полюсом и скорости вращения точки вокруг полюса во вращательном движении тела вокруг полюса:

(2)

где V_B - скорость точки, V_A - скорость полюса, V_BA - скорость вращения точки вокруг полюса. Причем

(3)

где ,ω - модуль угловой скорости и величина вектора угловой скорости; AB - расстояние между точкой и полюсом, равное радиусу вращения точки вокруг полюса.

Для доказательства теоремы определим положение точки B тела в неподвижной системе координат радиус-вектором r_B (рис. 81). Можно определить положение точки B иначе. Вначале определим положение точки в базовой системе координат радиус-вектором ρ, а затем, положение базовой системы координат в неподвижной системе координат определим радиус-вектором полюса r_A.

На рис. 81 мы видим, что r_B = r_A + ρ. Дифференцируя по времени последнее равенство, получаем

(4)

В выражении (4) dr_B / dt = V_B - скорость точки, dr_A / dt = V_A является скоростью полюса или скоростью поступательного движения базовой системы координат и тела совместно с полюсом. Второе слагаемое в (4) определяет скорость движения точки B тела в подвижной базовой системе координат. Угловое движение или вращение тела происходит вокруг оси Az₁ тела, совпадающей с осью Az* базовой системы координат. Пусть вращение тела наблюдается против хода часов, когда вектор ω направлен вдоль оси Az₁ прямо на нас (рис. 81). Тогда, так как ρ = const, по формуле Эйлера dρ / dt = ω ρ. Вектор ω ρ по величине равен ωρ sin (ω^ρ) = ωρ = ω·AB. Он лежит в плоскости x*Oy*, совпадающей с плоскостью xOy, перпендикулярной оси вращения, и направлен в сторону вращения. То есть в подвижной базовой системе координат этот вектор является скоростью точки B тела, вращающегося вокруг оси Az₁, проходящей через полюс A, или просто скоростью вращения точки B вокруг полюса A, которую обозначим V_BA, и теорема доказана.

Отметим, что угловая скорость не зависит от выбора полюса, и поэтому при использовании теоремы для решения задач за полюс может быть выбрана любая точка тела, скорость которой известна в неподвижной системе координат.