Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава 4. Теорема Хана – Банаха для вогнутых функционалов ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Основная теорема 4.1. Пустъ векторное пространство над . (1) Если супераддитивный положительно однородный функционал, то для любого найдется , для которого и на ; в частности, допускает двойственное линейное представление на . (Известная классическая версия Теоремы Хана – Банаха в несколько иной форме). (2) Если – вогнутый функционал, то для любого найдется функционал , для которого u на ; в частности, допускает двойственное аффинное представление на . (Основной полученный результат, более общий и требующий не линейных классов функционалов, а аффинных). Доказательство. Для доказательства будет использована обобщенная Теорема Хана-Банаха (о продолжении линейного функционала). Пусть - векторное пространство над , - вогнутый функционал, - векторное подпространство в . Допустим, что сужение функционала на минорирует функционал на . Тогда существует функционал с сужением , мажорирующий на . Пусть , . Тогда нулевой линейный функционал на совпадает с сужением вогнутого функционала на и, в частности, сужение минорирует на . По Теореме Хана - Банаха существует функционал с сужением , мажорирующий на . Тогда аффинный функционал мажорирует на и удовлетворяет равенству . Пусть теперь зафиксировано . Рассмотрим векторное подпространство . Сужение на можно рассматривать в этом случае как вогнутую функцию на одной переменной с . Тогда существует аффинная функция на , где число и соответственно правая и левая производные функции в точке и в силу вогнутости функции По построению функция мажорирует функцию на и . Положим
. Эти соотношения определяют линейный функционал на , который мажорирует вогнутый функционал на и при этом Отсюда по Теореме Хана-Банаха существует функционал с сужением , мажорирующий вогнутый функционал на . Тогда аффинный функционал мажорирует на и удовлетворяет равенству , что и требовалось. Заключение. В настоящей ВКР мы рассмотрели различные варианты теоремы Хана – Банаха. Были приведены классическая версия теоремы, теорема Хана-Банаха для комплексного случая, теорема Хана – Банаха для нормированных пространств и следствия из нее (теоремы о разделении выпуклых множеств). Основную ценность представляет раздел, в котором нами получен полный аналог классической Теоремы Хана – Банаха для вогнутых функционалов, в котором роль линейных функционалов играют аффинные. Представляет интерес распространение полученных в данной работе результатов на другие классы функционалов, в которых мы отказываемся в части требований, касающихся сублинейности. Например, от однородности или субаддитивности. Также интересно рассмотреть версии теоремы Хана – Банаха для алгебраических структур: групп, полугрупп, колец и т.д. Но это тема для дальнейших отдельных исследований.
Список использованной литературы. [1]. Хабибуллин Б.Н. Двойственное представление суперлинейных функционалов и его применения в теории функций. Известия РАН, Серия матем. 2001. Т. 65, №4. С. 205-224 [2]. Кутателадзе С.С., Рубинов А.М. Двойственность Минковского и ее приложения. – Новосибирск: Наука, 1976. [3]. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциальное исчесление. Теория и приложения. – М.: Наука, 2007. [4]. Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. – М.: Мир, 1973. [5]. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства. – Новосибирск: Наука, 1978.
|