Теорема Хана – Банаха в нормированном пространстве

Мы доказали общую теорему Хана – Банаха, согласно которой существует вещественный линейный функционал определенный на такой, что 1) служит продолжением т.е. для всех 2) вещественный линейный функционал, удовлетворяющий неравенству , вещественное линейное подпространство в

Применительно к нормированным пространствам эту теорему можно сформулировать так:

Пусть действительное нормированное пространство, его подпространство и ограниченный линейный функционал на

Этот линейный функционал может быть продолжен до некоторого линейного функционала на всем пространстве без увеличения нормы, т.е. так, что

Действительно, пусть

Ясно, что однородно-выпуклый функционал. Взяв его в качестве и применяя общую теорему Хана – Банаха, получим требуемый результат.

Укажем некоторые важные свойства, вытекающие из теоремы Хана-Банаха для нормированных пространств.

Замечание. Выпуклое множество в линейном пространстве называется выпуклым телом, если оно имеет непустое ядро. Можно показать, что в нормированном пространстве ядро множества совпадает с совокупностью его внутренних точек. Таким образом, в нормированном пространстве, выпуклое тело – это выпуклое множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку.

Следствие 2.3.1.(первая теорема отделимости). Пусть и выпуклые множества в нормированном пространстве причем, хотя бы одно из них, скажем является выпуклым телом и его ядро не пересекается с Тогда существует ненулевой непрерывный линейный функционал, разделяющий и .

Следствие 2.3.2.(вторая теорема отделимости). Пусть замкнутое множество в нормированном пространстве точка, не принадлежащая Тогда существует непрерывный линейный функционал, строго разделяющий и .