Вычисление перемещений в стержнях и стержневых системах (Теорема Кастильяно, интеграл Мора)

Если к упругому телу приложить некоторую обобщенную силу Q (соcредоточенную силу или сосредоточенный момент) и измерить обобщенное перемещение δ в направлении приложения Q, то (1) принимает вид

и условие равновесия (стационарности) дает теорему Кастилиано

. (7)

Теорема может непосредственно использоваться для вычисления перемещений. Однако в расчетах стержней удобнее применять ее модификацию - интеграл Мора.

Приложим к стержню единичную обобщенную силу в направлении искомого перемещения. Тогда в стержне помимо внутренних сил от внешних нагрузок добавятся внутренние силы от Q=1 .

и, в силу линейности задачи,

.

Подставляя в (4) и вычисляя δ, с помощью теоремы Кастилиано получаем при Q=0

(8)

Это выражение называют интегралом Мора, который,как уже упоминалось выше, эффективен при раскрытии статической неопределимости в стержневых системах. Интеграл Мора позволяет искать перемещения в конкретной точке стержня и в конкретном направлении без анализа функций перемещений в целом.

Примеры практического применения будут рассмотрены на практических занятиях.