By definition, put

A = { x Î T | x is a limit point of A }.

Подведём итог параграфа: с небольшим числом исключений определения удобнее всего давать с помощью основной конструкции is called, которая используется как в чистом виде, так и с прибавлением if... с последующим перечислением или предваряется конструкцией suppose..., then.

В первую очередь этот параграф посвящён наиболее употребительному штампу в английских математических текстах

Этот оборот появляется как в формулировках теорем, так и в их доказательствах, особенно в начале (или в начале изложения теории), когда фиксируются рассматриваемые объекты и вводятся основные обозначения. Рассмотрим несколько примеров.

1. Let f: X → Y be a continuous map.
2. Let the domain D be bounded.
3. Let γ be a smooth curve and let the following condition be satisfied: for any ε > 0...
4. Let the number m be the least upper bound of the function f on the interval (0, 1).

Наиболее часто встречаются примеры, аналогичные 9); пользуясь терминологией §§ 8–9, их можно объединить в виде штампа

Достаточно часто используются и следующие штампы:

Например,

Let d be the degree of f.

Например,

Let n be even.

Например,

Let the origin be a critical point of f.

Например,

Let the map f _*: H ₁(X) → H ₁(Y) be the homomorphism induced by f: X → Y.

Читатель, проработавший §§ 7–9 (и понимающий соответствующую математику!), здесь без труда поймёт, когда нужно ставить артикли the и a и почему. Например, в самом последнем примере любой математик, хоть чуть-чуть знакомый с топологией, понимает, что в данном контексте (при фиксированном отображении f: X → Y) имеется однозначно определённое индуцированное отображение f _* групп гомологий и поэтому дважды требуется артикль the.

Довольно часто в начале доказательств приходится фиксировать много обозначений. В этом случае можно итерировать конструкцию let... be..., например, можно написать

Let X be an arbitrary topological space, let H ^*(X) be its singular cohomology, and let n be the largest integer such that Hⁿ (X) ≠ 0.

Однако, я не очень рекомендую подобные длинные перечисления — они звучат, по-моему, слишком однообразно — и советую конструкцию suppose... is.

Suppose X is an arbitrary topological space, H ^*(X) is its singular cohomology, and n is the largest integer such that Hⁿ (X) ≠ 0.

Другой вариант перечисления с let состоит в том, чтобы пропускать все be (и все let) после первого.

Let X be an arbitrary topological space, H ^*(X) its singular cohomology, and n the largest integer such that Hⁿ (X) ≠ 0.

Обратите внимание на отличие английской пунктуации в этой фразе от русской: нет тире после H ^*(X) и n (эти тире по-английски недопустимы, и скорей всего будут прочитаны англоязычными математиками как знаки минус), а запятая перед and — обязательна (здесь перечисление: см. § 11).

Другой широко распространённый способ вводить обозначения основан на следующем штампе:

Например,

By H ^*(X) denote the cohomology of X.

By g denote an arbitrary element of G.

Очень часто этот штамп участвует в составной конструкции (§ 11) с разделителями such that, where и др., например,

By g denote an arbitrary element of G, where the group G satisfies the assumptions of Theorem 2.3.

By В denote a nondegenerate form on C ^∞(M) such that á A, B ñ = 0.

Можно, конечно, предварить введение обозначений необходимыми сведениями, пользуясь конструкцией suppose...; then..., например,

Suppose I is a directed set, π _ij: Y_i → Y_j are epimorphisms and the sets Y_i are finite; then by Y = lim Y_i we denote the projective limit of the family { Y_i, π _ij; i, j Î I }.

Обратите внимание на we перед denote — это местоимение можно ставить перед denote и в предыдущих примерах. В последнем же примере (и вообще после suppose...; then...) это we желательно (повелительное наклонение denote — без we — не очень хорошо звучит после условного if..., then...).

В начале доказательств часто встречается штамп

тоже используемый для введения рассматриваемых понятий и их обозначений.

Пример:

Consider a subgroup H of G such that g ₀ Î H.

И, наконец, — менее универсальная конструкция, без которой, однако, бывает трудно обойтись:

чаще всего используемая в более частном виде:

Например,

Suppose the space X satisfies (1.2) and (1.3).

Suppose the dynamical system E satisfies the conditions of Theorem 2.3.

По ходу доказательства или в изложении теории часто бывает необходимо сформулировать не установленное ещё утверждение, а затем его тут же доказать. Тогда очень удобно пользоваться замечательным словом claim (это и существительное, и глагол), которое не имеет адекватного перевода на русский. (В устной речи неплохим переводом we claim that... будет «теперь я утверждаю, что».) Вот один из штампов с этим словом:

Например,

We claim that φ is an isomorphism. Indeed, this follows from Theorem A and five-lemma.

Наконец, довольно специальная, однако используемая во всех разделах математики конструкция:

Например,

The value of the pairing á h, c ñ is uniquely determined by the homology class of c.

The constant C is uniquely determined by the initial condition.

В этом параграфе мы обсуждаем формулировки теорем, лемм, предложений, следствий и просто утверждений, встречающихся в изложении теорий или в доказательствах. В отличие от определений, где хватает, в сущности, одного штампа, здесь можно использовать почти всё разнообразие предлагаемых нами конструкций. И всё же некоторые общие указания в этом случае уместны.

Начну с того, что наиболее распространённые конструкции is, is a, is the, о которых уже говорилось в §§ 7, 9, 21, тоже используются при формулировке теорем. На них я останавливаться здесь не буду (считаю, что они уже освоены читателем), и ограничусь одним примером.

Proposition 4.1. The injective map j: Y → Ω _k is an embedding.

Далее замечу, что бóльшая часть теорем с точки зрения логики имеют вид A Þ B или A Þ (B Þ C), и поэтому короткие теоремы хорошо укладываются в конструкцию

Lemma 8.1. If d: X × X → R is the function defined above on X, then d (a, b) = d (b, a) for all pairs x, y Î X.

В более длинных теоремах используются штампы

Примеры.

Theorem 6.6. Suppose the regular Fréchet space F satisfies the second axiom of countability; then there exists an embedding of F into the Hilbert cube I^N.

Proposition 11. Suppose the extension E is totally ramified over K. Let П be an element of order 1 at B; then П satisfies the Eisenstein equation

X^k + a_{k –1} X^{k –1} +... + a ₀ = 0.

Принципиально другое логическое строение теорем — разного рода формулировки необходимых и достаточных условий: А Û В. Вот наиболее экономный штамп:

Lemma 1. M is parallelizable iff ω₂(τ) = 0.

Более торжественно необходимые условия формулируются так:

Theorem 2. For the homomorphism ψ to be a monomorphism it is necessary and sufficient to have ψ^–1(e) = e.

Theorem 3. A necessary and sufficient condition for dF to be a local homeomorphism is that the Jacobian J_F be nonzero.

Другой логический тип часто встречающихся теорем характеризуется формулой

A Þ (B ₁ Û B ₂ Û … Û B_k);

словами такую теорему можно высказать так:

Отметим теперь полезный оборот, с которого начинаются многие формулировки:

Lemma 3. Under the conditions of Lemma 1, we have w _*(e) = φ(τ).

В этом штампе выражение we have можно опустить, оставив лишь запятую, особенно если [ ] состоит из выделенной формулы.

Приведём ещё одну более сложную логическую схему для теорем:

A Þ ((B ₁ Ú B ₂) Þ C).

Подобную теорему можно выразить так:

По этому образцу (и предыдущим) читатель, при желании, может построить ещё более логически изощрённые формулировки. Однако текст будет более понятным, если при этом не будут возникать слишком длинные предложения.

По-видимому, с языковой точки зрения комментарии к вычислениям (скажем, в работах по дифференциальным и интегральным уравнениям, или вообще по анализу) — наиболее простой раздел английского математического языка. Всё же и здесь полезно владеть наиболее употребляемыми штампами и уметь обходить имеющиеся подводные камни.

Обычно подобные тексты начинаются с введения обозначений. Лексически здесь нет ничего нового по сравнению с § 22, разве что формулы более громоздки и чаще выносятся на отдельные строки.

Непосредственно в комментариях вычислений наиболее употребительны следующие обороты:

Вводное выражение Therefore в этих штампах можно заменить на Hence, Whence или (в конце рассуждения) на Thus. Для разнообразия, we have можно разбавлять словечками clearly, obviously и т.п., например,

В самом процессе вычислений вместо we have чаще используются

но обычно этим штампам предшествует пояснение о том, как именно эта формула получается. Приведём конкретные примеры наиболее популярных пояснений.

Using á(2.7)ñ, we get áформулаñ.

If we combine this with áLemma 1ñ, we get áформулаñ.

Combining á(11), (17) and (7)ñ, we obtain áформулаñ.

Substituting á2 x ñ for á u ñ in á(3.2)ñ, we get áформулаñ.

If we replace á u ñ by á2 x ñ in á(3.2)ñ, we obtain áформулаñ.

Since [утверждение], it follows that áформулаñ.

Adding á3Δ²ñ to both sides, we get áформулаñ.

Multiplying both sides by á T (x)ñ, we obtain áформулаñ.

Summing á(2.1), (2.5), and (2.7)ñ, we get áформулаñ.

Subtracting á(1.7)ñ from á(1.2)ñ, we get áформулаñ.

Вот ещё несколько более специальных примеров:

Integrating á(3.1)ñ in á x ñ, we obtain áформулаñ.

By áLemma 3ñ, áформулаñ, so that áформулаñ.

áThe integral (3.2)ñ is majorized by áформулаñ.

Now if we recall á(1.3) and (2.7)ñ, we get áформулаñ.

It now follows that áформулаñ.

Now, by áProperty (5)ñ, áформулаñ.

The application of áTheorem 5ñ yields...

Ближе к концу вычислений уместны следующие обороты:

Finally, we obtain áформулаñ.

The result is áформулаñ.

Thus we have áформулаñ.

To conclude the proof, it remains to note that áформулаñ.

Заключительным аккордом данного вычисления может прозвучать стандартная фраза

This completes the proof of áTheorem 3ñ.

Алгебраические тексты писать, как правило, очень просто, и обычно хватает тех штампов, что были описаны в §§ 7, 20–23. Здесь мы ограничимся несколькими специфическими оборотами, связанными с введением бинарных операций.

Let Z _m be the group of integers modulo m with respect to the sum operation.

Let Mat(n) be the algebra of square n × n matrices with respect to the ordinary multiplication of matrices.

На самом деле «хвост» with respect to (с последующим описанием алгебраической операции, или другой структуры) часто используется не только в статьях по алгебре. Приведём два примера:

W is a Banach space with respect to the norm || · ||.

The sequence { f_n } has a finite limit with respect to the weak topology.

Для более конкретного описания бинарной операции полезен следующий штамп:

Define the convolution of two functions f, g Î W as the integral ∫ Kf · g dx.

Define the product of two equivalence classes { a }, { b } mod p as { a }·{ b } = { a · b } mod p.

В алгебраических построениях часто приходится иметь дело с классами эквивалентностей, а затем доказывать корректность определений и конструкций. Здесь можно пользоваться таким оборотом:

снабжая его подходящим вводным выражением, например,

It is easy to prove that the product { a }·{ b } is well defined.

Obviously, the scalar product is well defined.

(Имейте ввиду, что слово correct означает «правильно», а вовсе не корректно).

Приведём один стандартный оборот, часто используемый в гомологической и категорной алгебре:

за которым, разумеется, следует обещанная диаграмма; при необходимости слово commutative можно опустить, а вместо consider сказать we have или we get.

Как и в случае определений (ср. § 21), наиболее популярный способ устанавливать соответствия (на русском языке): тому-то поставим в соответствие то-то при дословном переводе на английский звучит несуразно (и, скорее всего, будет непонятным англоязычному читателю).

Если мы желаем сохранить естественный порядок «прообраз, затем образ», можно пользоваться конструкцией

То each point x assign the point y = x ².

но по-английски более часто встречается обратный порядок:

The point y = x ² corresponds to the point x.

The point y = x ² is assigned to x.

Разумеется, слова assign и correspond можно заменять стрелками, как например в конструкции

Let the map f be given by x → f (x) = x ².

Более подробное описание отображения (с указанием области определения и множества значений) даётся так:

Let f be the map of R to R such that f (x) = x ² for all x Î R.

Если отображение не всюду определено, предлог of нужно заменить на from, как, например, в предложении

Let √ be the map from R to R such that (√ x)² = x and x ≥ 0.

Но, пожалуй, наиболее популярная конструкция для построения отображений — следующая:

Здесь первый пробел заполняется названием отображения (функции), а последующие — прообразом (аргументом) и образом (значением функции), например,

Let the function f take each point x to x ².

Let the homomorphism φ _n take each element g Î G to the conjugate element φ _n (g) = h ^–1 gh.

Let the projection p ₃ take each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Если мы хотим подчеркнуть, что здесь даётся обозначение для вводимого отображения, можно пользоваться следующими вариантами предыдущего оборота:

Let p ₃ be the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Denote by p ₃ the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Заметим, что последнее определение лучше выражается с помощью одного из общих штампов для определений (§ 21), например:

By p ₃: R ³ → R ² denote the projection along the z-axis.

Если же мы описываем действие отображения (например, введённое раньше или вводимое по ходу дела), то удобна следующая конструкция:

Например,

The projection along the z-axis takes the plane x = y to the main diagonal of the xy-plane.

The canonical homomorphism φ: G → G / H takes each element g Î G to the corresponding coset gH Î G / H.

Обратите внимание, что глагольная форма takes (а также take) применяется не только к отдельным точкам, но и к множествам.

Заметим отдельно, что выражение при отображении переводится как under the map, так что говорят, например,

The image of X under the map p ₃ is p ₃(X).

The inverse image of an element of G/H under the canonical homomorphism G → G / H is a coset.

Два других важных выражения с предлогами — это extention to и restriction to. Вот пример их использования:

By f | _A denote the restriction of f to the subset A Ì X.

Let f be the extension of f to Y É X by the identity on the set Y \ X.

Обратите здесь внимание на использование предлогов of и by.

Это, наверное, труднее всего. Разумеется, я не берусь обучить вас писать на том образном, но ясном языке, которым пользуются такие авторы, как Милнор, Берже или Кокстер. Читателю придётся сдерживать своё стремление к наглядным описаниям и писать формально и сухо. Начнём с описания конструкций, встречающихся в геометрии и геометрической топологии.

С этой целью мы перечислим ряд глаголов, описывающих те или иные геометрические действия, помещая в скобках подходящие к ним предлоги ¹²:

move, shift, bend, push (to, along, into, away from);

project (on, along);

embed (in, into, by);

map (to, onto, into);

restrict (to);

identify (with);

attach, glue, paste (to, along, together);

collapse (to, onto);

join (with, to);

remove (from);

put in general position (with respect to);

extend (to, by).

Эти глаголы можно использовать в повелительном наклонении (в начале фразы или после слов let us), а также в ing -овой форме (в начале фразы, с последующим переходом к продолжению за счёт оборота типа we obtain или we can assume that). Вот несколько примеров:

Move the variety V away from C along the trajectories of the vector field X.

Let us attach the handle D^k × D^n–k to the manifold W along the base S^{k –1} × D^n–k Ì ∂ W.

Putting M in general position with respect to F, we can assume that dim (M Ç F) = 0.

Gluing together the neighborhoods U_i, we obtain the manifold M.

Значительную часть геометрических текстов составляет обсуждение различных отображений, но для этого хватает оборотов, приведённых в § 24 (см. также приложение I, пункт (G)).

Некоторой экономии места при описании отображений можно достичь, добавляя деепричастия к глаголу map (или глаголам, перечисленным в начале этого параграфа). Вот несколько таких деепричастий: continuously, diffeomorphically, smoothly, isometrically, analytically, birationally.

Примеры:

Extend the map Φ smoothly to all of R ⁿ.

The projection p maps M diffeomorphically onto N.

Я не рекомендую начинающим авторам пытаться вложить глубокий или тонкий смысл в комментарии, а советую ограничиваться для безопасности стандартными оборотами.

Для начала, вот несколько способов обойти доказательство за счёт комментария:

The proof is omitted.

The proof is trivial.

The proof is given in § 5.

The proof is found in [2].

This lemma was proved by Smale (see [2]).

This was proved by Postnikov in [5].

This lemma can be proved by standard methods of KAM theory.

This theorem can be proved by direct calculations.

Если вы всё же решились привести доказательство, но начинаете со вспомогательных утверждений, можно сказать так:

То prove Theorem 2, we need several lemmas.

To prove this statement, we need some notation.

Если вы будете доказывать от противного, то можно сказать:

The proof is by reductio ad absurdum.

Но это несколько старомодно, и лучше начать так:

Закончить тогда можно стандартной фразой

This contradiction proves the theorem,

или комбинацией из двух фраз, которую мы сразу проиллюстрируем примером:

This contradicts Lemma 2.1. The theorem is proved.

Если вы доказываете что-то по индукции, то можно начать так:

Вместо on в последние годы многие математики говорят over.

The proof is by induction on n.

The proof is by induction over the dimension of V.

Продолжить можно (иногда) штампом

For n = 1, there is nothing to prove.

Этот штамп бывает полезен и в других контекстах, например,

For the case M = C P ², there is nothing to prove.

В процессе индукции часто используются штампы

By the induction hypothesis, a_{n –1} is divisible by b.

By the inductive assumption, φ _{n –1} is injective.

Если вы доказываете разбором случаев или поэтапно, полезны следующие штампы:

В обоих случаях пробелы á ñ заменяются числом.

Часто в математических текстах подчёркивается полезность чего-либо для дальнейшего, и хотя без подобных комментариев прекрасно можно обойтись, мы приведём одну такую конструкцию:

The following lemmas are needed for the sequel.

Иногда нужно указывать на сравнительную силу тех или иных утверждений; здесь работают такие штампы:

Theorem 2.1 is stronger than Theorem A in [3].

The following condition is weaker than (2.5).

This assumption is stronger than condition (i).

В описанных здесь комментариях уже появились ссылки на литературу, в частности в наиболее стандартном виде, именно

Приведём несколько более сложных примеров ссылок:

In his paper [3], Rokhlin proved that П₃ = 0.

The case n = 2 was considered by Mostow in [5].

Morse theory for sheaves was developed by Hirsch in his book [2].

Разумеется, мы ограничились здесь очень небольшим спектром штампов-комментариев. Расширять этот спектр можно, пользуясь конструкциями, найденными у англо-саксонских математиков, но начинающим авторам (а также самоуверенным маститым) я настойчиво советую сводить комментарии к минимуму.

Здесь, как и во многих других разделах, мои рекомендации — скорее негативного свойства: пишите очень короткие введения, ограничиваясь, например, одной фразой:

Ещё лучше, напишите в виде заголовка слово

Introduction,

кратко сформулируйте основные (новые) определения и результаты, попутно сошлитесь на близкие работы:

опишите план статьи (если она не очень короткая):

и, наконец, поблагодарите научного руководителя:

и /или коллегу:

В современных работах благодарности часто выражаются под заголовком