Формулы Эйлера

Показательная формула записи. Леонардо Эйлер распространил понятие степени на случай комплексного показателя. Он предложил (не получил!, не доказал!) считать, что

(6)

в случае, если какое-либо действительное число. Формула (6) носит название формулы Эйлера. Здесь показатель степени чисто мнимый.

В случае любого комплексного числа по аналогии будем иметь

(7).

Эта формула тоже не доказывается, а является отображением действия .

Такое определение позволяет распространить на случай комплексных показателей все остальные свойства показателей степени и, таким образом, подключить к операциям с комплексными числами уже созданный математический аппарат.

Действительно, если и , то

1. , 2. , 3. ( натуральное число).

Доказательство свойств 1., 2., 3., рекомендуем читателям выполнить в качестве упражнения.

Из (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа легко прийти к показательной форме его записи (8).

Здесь - модуль числа - аргумент.

В такой записи формула Муавра принимает вид , а формулы для нахождения корня -ой степени- , .

Если в (6) заменить на , то получим (7)

Из (6) и(7) получаем очень полезные и часто употребляемые формулы

(8), которые также называют формулами Эйлера. Обращаем внимание, что с помощью этих формул тригонометрические функции от вещественного аргумента выражаются через показательные функции от чисто мнимых аргументов.

Задачи

1. Показать, что если и , то

Тест

1. Число, записанное в координатной, тригонометрической и показательной форме

а) имеет один и тот же модуль, б) имеет разные аргументы, в) имеет один и тот же модуль, но разные аргументы

2. Справедливо ли утверждение

а) справедливо, так как cosφ- чётная функция,

б) несправедливо, так как sinφ – нечётная функция,

в) справедливо, так как cosφ – чётная функция, а sinφ – нечётная.

8. [1] Функции комплексного переменного и примеры их практического применения

Говорят, что на каком-то множестве М точек плоскости задана функция , если указан закон, по которому каждой точке z из М ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек . В первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной. Множество М называется множеством определения функции , а совокупность N всех значений , которые принимает на М – множеством её изменения. Наиболее важную роль в приложениях играет случай, когда М и N являются областями, то есть обладают свойствами открытости и связности. Открытость – вместе с каждой точкой из множества этому множеству и достаточно малый круг с центром в этой точке. Связность – любые две точки множества можно соединить ломаной, состоящей из точек этого множества.

Если положить и , то задание функции комплексного переменного будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных: и .

Даже такие простейшие понятия из теории функций комплексного переменного позволяют получить результаты не менее удивительные, чем рассмотренные в §4 и §6. Вот пример из работ Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина, лежащий в основе теории профиля крыла (самолета, корабля и т.д.). За основу физической модели обтекающего потока были приняты уравнения движения плоскопараллельного течения идеальной несжимаемой жидкости. В этом случае оказывается, что воздействие потока на единицу размаха крыла приводит к математическому исследованию некоторых классов функций комплексного переменного. Если рассмотреть функцию , то как предположил Н.Е. Жуковский, функция будет соответствовать потенциалу скоростей (вспомните основы теории поля!) плоскопараллельного течения идеальной несжимаемой жидкости, а функция - функции тока этого течения. Условие будет определять семейство линий с одинаковым потенциалом, а - семейство линий тока.

Компоненты вектора скорости (по оси ох) и (по оси оу) какой либо частицы воздуха (жидкости или газа) определяются следующими соотношениями:

. Условия Д'Аламбера-Эйлера; ( - так называемая, аналитическая функция).

Из следует, что .

Таким образом установлено, что производная от комплексного потенциала позволяет найти действительные (вещественные) компоненты вектора скорости.

Литература

1. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2, ФМ, М., 1959г.

2. Г. П. Толстов, Элементы математического анализа, т. 1, ФМ, М., 1974г.

3. Ф. И. Маркушевич, Комплексные числа и комформные отображения, 2-ое изд., М., 1960г.

Словарь основных терминов

мнимая единица: , то есть число, квадрат которого равен -1 (i² = -1).

число z = x + iy называется комплексным (иногда «мнимым») числом, если x и y какие- либо действительные числа.

действительной или вещественной частью комплексного числа z называют число x, а число y - его мнимой частью. Часто употребляется обозначение x = Re z, y=Im z (от слов re ality и im aginaire, фр.)

модулем или абсолютной величиной комплексного числа z называется неотрицательное число r, вычисляемое по формуле .

аргументом, реже фазой комплексного числа называют угол φ (см. полярные координаты и рис. 1)и пишут φ = Arg z. При z ≠ 0 аргумент определяется по формулам cos j = , sin j =

Сложение комплексных чисел определяется следующим образом

z₁ +z₂ = (х₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

Вычитание комплексных чисел вводится как разность z₁ и z₂, то есть z₁ – z₂ = (x₁ + iy₁) – (x₂ + iy₂) = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂).

Корнем ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , что . Где натуральное число.

Умножение двух комплексных чисел проводится по правилам умножения многочленов с учётом правила возведения в степень мнимой единицы I:

где n- любое натуральное число.

При и :

= .