Определение. z0 – называется корнем многочлена если, =0

z₀ – называется корнем многочлена если, =0

Теорема Безу

z₀ – корень делится нацело на (z-z₀)

Доказательство:

Необходимость (делится нацело)

Поделим на (z-z₀) с остатком

, где R – число

Так как z₀ – корень, то =0 (z-z₀)=0, следовательно R=0

Достаточность

Пусть делится на (z-z₀) без остатка

тогда

, следовательно по определению z₀ - корень

Определение

z₀ – корень кратности k , если где

Утверждение

z₀ – корень кратности k

Доказательство:

Необходимость

Дано: где =0

L<k

При L<k все слагаемые при z=z₀ – будут равны нулю, то есть

При L=k в точке z=z_0, все слагаемые кроме последнего равны нулю.

Достаточность

Разложим функцию по формуле Тейлора в точке z₀

До к-го члена все слагаемые равны нулю.

- по условию

Тогда z₀ – по определению будет корнем кратности k.