Задачи к собеседованию по геометрии для 10 класса по итогам I полугодия

1. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Доказать, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

2. Три прямые попарно пересекаются. Доказать, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

3. Треугольники АВС и АВD не лежат в одной плоскости. Доказать, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

4. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. _{Докажите}, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.

5. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а. Докажите, что b и c-скрещивающиеся прямые.

6. Докажите, что если AB и CD скрещивающиеся прямые, то AD и BC тоже скрещивающиеся прямые.

7. Прямая а параллельна стороне BC параллелограмма ABCDи не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD- скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а)50 градусов; б)121 градус.

8. Три отрезка А₁А₂ B₁B₂ и С₁С₂ , не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

9. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р- середины отрезков BA, BC, BD соответственно. А) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. Б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см²

10. В тетраэдре DABC дано: угол ADC=54 градусам, угол BDC=72 градуса, угол CDA=90 градусов, DA=20 см, BD=18 см, DC=21 см. Найдите ребра основания данного тетраэдра.

11. Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и BC отметьте соответственно точки M, N, K. Постройте точку пересечения а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.

12. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1. Докажите, что AC || A₁C₁ и BD || B₁D_1.

13. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B1,D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение - трапеция.

14. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N, K лежат соответственно на ребрах AA₁ BB₁ AD

15. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N, K лежат соответственно на ребрах CC₁ AD BB_1.

16. Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая OK, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если OK=b.

17. В треугольнике ABC дано: угол C=90 градусов, AC=6см, BC=8см, CM-медиана. Через вершину C проведена прямая CK, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC, причем CK=12 см. Найдите KM.

18. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр O этого треугольника проведена прямая OK||CD.Известно, что AB=16√3, OK=12см, CD=16 см. Найдите расстояние от точек D и K до вершин A и B треугольника.

19. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках P_{1 и} Q_1. Найдите P₁Q_1, если PQ=15 см, PP₁=21,5 см, QQ₁=33,5 см.

20. Прямая AM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что а) прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO; б) MO перпендикулярно BD.