Вывод инженерных формул притока при неизотермической фильтрации

Для неизотермического вытеснения, судя по литературным источникам, простых инженерных формул не найдено. Оно и понятно, поскольку для задач неизотермической и многофазной фильтрации невозможно представить решения в аналитическом виде, даже в упрощенной постановке. В общем случае для решения указанных задач необходимо использовать численные методы.

Тем не менее, в определенных случаях для неизотермической фильтрации может быть получено обобщение инженерных формул притока жидкости в горизонтальную скважину.

Рассмотрим сначала нагнетание теплоносителя в вертикальную скважину. Допустим, что в результате нагнетания теплоносителя в пласте условно можно выделить две зоны - прогретая до температуры T_н = const. зона радиуса R_ф и непрогретая зона с начальной пластовой температурой T₀ = const, R_ф £ r £ R_к (см. рис. 5).

Положение радиуса фронта температуры R_ф определяется из уравнения теплового баланса, т. е. R_ф можно считать заданной величиной.

Считая сопротивление вертикальной скважины как суперпозицию фильтрационных сопротивлений прогретой и холодной зон, получаем для дебита выражение

, (5.1)

где m (Т) - вязкость жидкости (нефти) при соответствующей температуре.

Для горизонтальной скважины получить аналог формулы (5.1) гораздо сложнее, так как в этом случае не только контур нефтеносности, но и фронт тепла имеет форму эллипса с полуосями а (большая полуось) и b (малая полуось). Вывод формулы для дебита основывается на использовании теории конформных отображений [12]. При конформном отображении функция Жуковского [12] переводит эллиптическую зону прогретой части пласта в окрестности горизонтальной скважины в круговую полосу. В новой плоскости характер прогретой зоны аналогичен случаю вертикальной скважины, и для дебита записывается аналог формулы (5.1)

, (5.2)

где , (5.3)

, (5.4)

. (5.5)

Подставив (5.3) - (5.5) в (5.2) и учитывая внутреннее сопротивление горизонтальной скважины, приходим к окончательному выражению

. (5.6)

В формуле (5.6)

, (5.7)

. (5.8)

Формула (5.8) получена из условия равенства объемов, занимаемых теплоносителем в пласте в случаях вертикальной и горизонтальной скважин. Это условие сводится к равенству

,

откуда , что и дает (5.8).

При T_н = Т₀ выражение (5.6) переходит в формулу Renard, Dupuy или Joshi.

Аналогично, при том же условии формула (5.1) для дебита вертикальной скважины переходит в обычную формулу Дюпюи.

Рассмотрим случай, когда для вертикальной и горизонтальной скважин одинаковы относительные объемы закачки теплоносителя на 1 метр длины вскрытого ствола. Тогда суммарные объемы вводимого в пласт тепла не совпадают. В этом случае при расчете дебита горизонтальной скважины в формуле (5.8) вместо R_ф следует использовать . В остальном порядок расчетов сохраняется.

Таким образом, если распределение температуры в пласте в какой-то момент времени можно представить в виде скачка, разделяющего пласт на две зоны, то приближенную оценку дебита горизонтальной скважины представляет формула (5.6).

Пусть в более общем случае известна динамика температуры в пласте (сплошная линия на рис. 6). Всегда возможно перейти к кусочно-непрерывному распределению температуры и использовать аналог формулы (5.6).

Дебит вертикальной скважины будет оцениваться по формуле

, (5.9) где R₀ = r_с, Т_к = Т₀, R_к - радиус контура питания.

Формула для дебита горизонтальной скважины приобретает вид

, (5.10) где , i = 1, 2,..., к.