Наращенная сумма аннуитета постнумерандо

Годовая рента.

Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а срок — n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются п - 1 год, на второй п - 2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии.

R(1+i)^n-1, R(1+i)^n-2, …, R(1+i), R

Откуда

Данный коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1:

Таким образом.

Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увеличением значения каждого из этих параметров его величина растет. При i = 0 имеем S = Rn. Значения коэффициента легко табулировать.

Годовая рента, начисление процентов т раз в году.

Пусть как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты теперь начисляются т раз в году. Число членов ренты равно пт. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):

R, R (1+ ) ^m, R (1+ ) ^2m, …, R (1+ )^{( n -1) m}

Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — (1 + j/m)^m. Сумма членов этой прогрессии составляет

Рента p-срочная (т = 1).

Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Последовательность членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p, знаменатель — (1+ i)^{1/ p} Сумма членов этой прогрессии

Рента p-срочная (р = т).

На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: р = т. Для получения необходимой формулы воспользуемся замененной i на j/m, а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты пр, член ренты равен R/p. Поскольку р = т, то в итоге получим:

Рента p-срочная (р = т).

Общее количество членов ренты равно пр, величина члена ренты R/p. Члены ренты с начисленными процентами образуют ряд, соответствующий геометрической прогрессии с первым членом R/p и знаменателем (1 + + j/m)^m/p. Сумма членов такой прогрессии составит:

Непрерывное начисление процентов.

Обсуждение методов определения наращенных сумм дискретных рент будет неполным, если не охватить ренты с непрерывным начислением процентов. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начисленными непрерывными процентами. Пусть это будут ежегодные платежи постнумерандо. Получим: R, Re^d, Re^2d,..., Rе^d. Сумма членов прогрессии равна:

где е — основание натуральных логарифмов. Аналогично для p- срочной ренты находим:

Сравнение результатов наращения годовых и p-срочных рент постнумерандо с разными условиями выплат и наращения процентов.

Обозначим сравниваемые суммы как FV (p;m) так, FV (1;1) означает наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начислением процентов, FV (p;m) — аналогичную характеристику для ренты с начислением процентов т раз в году, наконец, S (p; ∞) — наращенную сумму p- срочной ренты с непрерывным начислением процентов.

Для одних и тех же сумм годовых выплат, продолжительности рент и размеров процентных ставок (i = j = d) получим следующие соотношения:

FV (1;1) < FV (1; m) < FV (p;1) < FV (p;m) < FV (p;m) < FV (p;m) < FV (p;∞)

m >1 p > m >1 p = m> 1 m > p > 1

• Годовая рента, начисление процентов m раз в год

• рента р -срочная (m = 1)

• рента р -срочная (m = p)

• рента р -срочная (m ≠ p)

• непрерывное начисление процентов

• непрерывная р -срочная рента

Сравнение современных стоимостей аннуитетов постнумерандо с разными условиями.

PV (1;∞) > PV (1; m) > PV (1;1) > PV (p;∞) > PV (p;m) > PV (p;m) > PV (p;m) > PV (p;1)

m > p > 1 p = m> 1 p > m >1