Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Частинні похідніОзначення 4. Частинний приріст функції z=f(х;y) по x у точці M(x;y) визначається формулою . (2.1) Означення 5. Частинний приріст функції z=f(х;y) по y у точці M(x;y) визначається формулою . (2.2) Означення 6. Повний приріст функції z=f(x;y) у точці M(x;y) визначається формулою . (2.3) Означення 7. Окіл радіуса r точки M0(x0;y0) – це сукупність усіх точок M(x;y), які задовольняють нерівності , тобто сукупність усіх точок, які лежать на полі круга радіуса r з центром у точці M0(x0;y0). Нехай функція z=f(x;y) визначена у деякій області D площини xOy і нехай точка M0(x0;y0) D. Означення 8. Число А називається границею функції f(x;y) при наближенні точки M(x;y) до точки M0(x0;y0), якщо для будь-якого числа можна знайти таке число ( залежить від ), що для всіх точок M(x;y), координати яких задовольняють нерівність , тобто точок M(x;y) із – околу точки M0(x0;y0), виконується нерівність
.
Якщо А – границя функції f(х;y) при M(x;y)→ M0(x0;y0), то це записується так:
. (2.4) Означення 9. Нехай точка M0(x0;y0) D – області визначення функції f(х;y). Функція z=f(х;y) називається неперервною у точці M0(x0;y0), якщо границя функції в ній існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
, (2.5) причому точка M(x;y) наближається до точки M0(x0;y0) довільним чином, залишаючись в області визначення функції. Якщо , то (2.5) матиме вигляд:
(2.6) або . (2.7) Використовуючи формулу (2.3) повного приросту функції z=f(х;y) у точці M0(x0;y0), маємо і, крім того, позначивши (якщо і , тоді і, навпаки, якщо , то і ), рівність (2.7) запишеться у вигляді:
. (2.8) Означення 10. Функція, неперервна у кожній точці деякої області, називається неперервною у цій області. Означення 11. Точка М1(х1;y1), в якій порушується умова (2.5) неперервності функції z=f(х;y), називається точкою розриву цієї функції. Приклад 3. Довести, що функція z=x2+y2 неперервна у будь-якій точці (х;y) площини xOy. Ця функція визначена в усіх точках площини xOy. Її повний приріст для будь-яких x, y, ∆x, ∆y має вигляд:
.
Перейшовши до границі, коли і , дістанемо і отже, дана функція неперервна у будь-якій точці (х;y) площини xOy. Означення 12. Частинною похідною за х функцією двох змінних z=f(х;y) називається границя відношення частинного приросту до приросту цієї змінної ∆х, якщо приріст змінної ∆х довільним чином прямує до нуля. Частинна похідна за х для функції z=f(х;y) позначається так:
; . За означенням 12 . (2.9)
Означення 13. Частинною похідною за y функцією двох змінних z=f(х;y) називається границя відношення частинного приросту до приросту цієї змінної ∆y, якщо приріст змінної ∆y довільним чином прямує до нуля. Позначається така похідна так: ; . За означенням 13 . (2.10) Зауважимо, що обчислюється у припущенні, що y – стала змінна, а – у припущенні, що х – стала змінна. Тому при обчисленні частинних похідних функції двох змінних можна користуватися вже відомими правилами й формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому іншу змінну сталою. Аналогічно, частинні похідні функцій більшого числа змінних визначаються та обчислюються у припущенні, що змінюється лише одна з незалежних змінних, а інші при цьому сталі. Приклад 4. Знайти частинні похідні функцій: а) ; б) ; в) ; г) . а) Припускаючи, що y стала і застосовуючи правила й формули диференціювання функції однієї змінної х, знаходимо частинну похідну по х: Припускаючи, що х стала і застосовуючи правила й формули диференціювання функції однієї змінної y, знаходимо частинну похідну по y:
б)
в) г)
Приклад 5. Довести, що функція задовольняє рівняння . Знайдемо спочатку частинні похідні і .
Підставимо вираз для z, і у дане рівняння Таким чином, доведено, що дана функція задовольняє дане рівняння.
|