Позиционные системы счисления

Выполнение любых вычислений базируется на определенной форме представления чисел. Это определяется принятой системой счисления - совокупностью символов и правил для представления чисел. Символы называются цифрами данной системы счисления. Системы счисления могут быть позиционными и непозиционными.

Непозиционной системой называется такая, в которой значение символа не зависит от его места расположения в числе. Для образования числа в непозиционной системе счисления используются операции арифметического сложения и вычитания. Примером непозиционной системы счисления является римская (I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)). Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая конкатенация — с убавлением:

XVI=X+V+I=10+5+1=16₁₀

IX=X-I=10-1=9₁₀

В позиционной системе счисления значение каждого символа-цифры зависит от его места расположения в числе. Справедливо следующее представление числа в позиционной системе счисления:

x(q) = a _n-1q ^n-1 + a _n-2q ^n-2+ ... + a ₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 +...+a_mq^m

где:

x(q) — число в системе счисления с основанием q;

a_i — цифра i-ого разряда в числе;

n — количество целых разрядов числа;

m — количество дробных разрядов числа.

Под основанием системы счисления q, с одной стороны, понимают количество различных цифр, ее образующее, а с другой стороны — число, показывающее во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса соседнего старшего разряда.

Очевидно, что используемая система счисления определяет набор правил (алгоритмов) выполнения операций над числами. Поэтому важное значение имеет правильное представление чисел, и преобразование чисел в различных системах счисления.

Наибольшее распространение в вычислительной технике имеют системы счисления с основаниями 2, 8, 16 — двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. При переводе числа в шестнадцатеричную систему счисления необходимо помнить, что шестнадцатеричные числа представляются символами 0, 1, 2,..., 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).