Представление чисел в персональном компьютере

В персональном компьютере (ПК) применяются две формы представления чисел:

• естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой) - ФЗ (ФТ);

• нормализованная (нормальная) форма, или форма с плавающей запятой (точкой) - ПЗ (ПТ).

В форме представления с ФЗ числа представляются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной части. Например, если числа представлены в двоичной системе счисления и имеют пять разрядов в целой части числа (до запятой) и пять в дробной части (после запятой), то числа + 10111,1011₍₂₎ и - 1001,10101₍₂₎, записанные в такую разрядную сетку, будут иметь вид:

+ 10111,10110

- 01001,10101.

Эта форма проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому чаще всего неприемлема при вычислениях.

Диапазон значащих чисел N в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учёта знака числа) будет таким:

.

Например, при Р = 2, m = 10 и s = 6 числа изменяются в диапазоне . Если в результате операций над числами получится число, выходящее за допустимые пределы, произойдёт переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл.

В современных компьютерах естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

В памяти ПК числа с ФЗ хранятся в трёх форматах: полуслово - это 16 бит (2 байта); слово - 32 бита (4 байта); двойное слово – 64 бита (8 байтов).

Отрицательные числа с ФЗ записываются в разрядную сетку в дополнительных кодах, которые образуются прибавлением единицы к младшему разряду обратного кода. Обратный код получается заменой единиц на нули, а нулей на единицы в прямом двоичном коде.

В форме представления с ПЗ число изображается в виде двух групп цифр:

• мантисса;

• порядок.

При этом абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок должен быть целым числом. В общем виде число в форме с ПЗ может быть представлено так:

,

где М - мантисса числа (| М | < 1), старший разряд которой является значащим (равным единице за исключением записи числа ноль);

Р - основание системы счисления;

r - порядок числа (целое число в системе счисления с основанием Р, равное количеству разрядов сдвига исходного числа (вправо – со знаком «+», влево – со знаком «-») при его записи в мантиссе).

Например, приведённые ранее числа в нормализованной форме запишутся следующим образом:

+ 0,101111011×2⁺¹⁰¹

- 0,1001010101×2⁺¹⁰⁰.

Нормализованная форма представления обеспечивает большой диапазон отображения чисел и является основной в современных компьютерах. Так, диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учёта знаковых разрядов порядка и мантиссы) будет:

.

Например, при Р = 2, m = 22 и s = 10 диапазон чисел простирается примерно от 10^-300 до 10³⁰⁰. Для сравнения: количество секунд, которые прошли с момента образования планет Солнечной системы, составляет около 10¹⁸.

В памяти ПК числа с ПЗ хранятся в двух форматах: слово - 32 бита (4 байта); двойное слово - 64 бита (8 байт).

Разрядная сетка для чисел с ПЗ имеет следующую структуру (см. рис. 4.10). В двух старших разрядах записываются знак числа и знак порядка, соответственно (1 - «минус» или 0 - «плюс»). Далее в прямом двоичном коде записывается порядок числа (справа налево); пустые разряды слева заполняются нулями. В остальных разрядах указывается мантисса (слева направо); пустые разряды справа заполняются нулями.

Рис. 4.10. Разрядная сетка для чисел с плавающей точкой

В качестве примера рассмотрим запись десятичного числа - 6,25₍₁₀₎ - в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка (см. рис. 4.11). Так, в результате перевода числа 6,25₍₁₀₎ в двоичную систему счисления и его нормализации получим:

- 6,25₍₁₀₎ = - 110,01₍₂₎ = - 0,11001×2⁺¹¹.

Рис. 4.11. Пример записи числа в нормализованном виде