Метод простых итераций

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В таких случаях более эффективным способом численного решения уравнений является метод итерации.

Пусть дано уравнение (1) A ⋅ X = B. Заменим его равносильным уравнением:

X=a X+β, (2)

где ; .

Вычислительная формула метода простых итераций:

. (3)

Если последовательность имеет предел , то этот предел является решением системы (2).

Теорема. Если , то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению независимо от начального приближения.

Критерий окончания итерационного процесса: , где e – заданная точность вычислений. В качестве решения берется величина X _n.

Первый способ приведения A ⋅ X = B к виду (2)

Предполагая, что разрешим первое уравнение системы (1) относительно х ₁, второе – относительно х ₂,..., n -ое уравнение – относительно х _n. В результате получим

, (4)

где . Система (4) в матричной форме имеет вид (2).

При таком способе получения уравнения (2) справедливо следствие из теоремы 1, определяющее условие сходимости итерационного процесса.

Следствие. Для системы (1) метод итераций сходится, если выполнены неравенства

. (5)

Выражение (5) означает, что в матрице A в каждой строке диагональный элемент по модулю больше суммы модулей остальных элементов строки. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать СЛАУ. Это можно сделать, выполнив эквивалентные преобразования системы: перестановка строк; линейная комбинация строк.

Пример. Дана система уравнений.

.

Привести ее к виду, пригодному для решения методом простых итераций первым способом.

Условие (5) не выполняется ни в одной из строк. Поместим строку (c) на первое место:

.

Теперь для первой и третьей строки условие (5) выполняется. В качестве третьей строки возьмем линейную комбинацию (c) – (a):

.

Данную систему уже можно приводить к виду (2):

.

Т.о.

, .

В качестве нулевого приближения примем .

Второй способ приведения AX = B к виду (2)

В предыдущем способе обязательным условием являлось выполнение неравенства (5). Во многих случаях это далеко не просто. Во втором способе любую невырожденную систему уравнений (1) всегда можно заменить эквивалентной системой так, что условие сходимости будет выполняться.

Для этого умножим уравнение AX = B на матрицу D = А ^–1 – Δ, где Δ – матрица с малыми по модулю элементами. Последовательно получим:

Обозначим . В результате получим систему вида (2).

Очевидно, что если элементы матрицы Δ выбрать достаточно малыми по модулю, то можно обеспечить выполнение условия

.

Т.е. для сходимости итерационного процесса необходимо выполнение условия

или .