Нормы векторов и матриц

Нормы векторов

Пусть имеется n - мерное пространство вещественных чисел Rⁿ. Если для любого вектора существует число такое, что:

· , причем X = 0;

· , где ;

· ,

то называется нормой вектора Х.

На практике используют следующие нормы:

· max-норма или m-норма ;

· l -норма ;

· Евклидова норма .

Далее будем всюду считать, что в пространстве Rⁿ введена некоторая норма . Выбор конкретной нормы в практических задачах определяется тем, какие требования предъявляются к точности решения.

Определение. Пусть X * – точное значение вектора, X ‑ приближенное значение. Определим абсолютную и относительную погрешность вектора X*:

.

Нормы матриц

· , причем ;

· , где ;

· ,

· ;

· , где X – вектор.

Пример

Вычисление норм в MatLab

· max -норма, или m - норма:

nm = norm(A, inf);

· l -норма:

nl = norm(A,1);

· Евклидова норма:

ne = norm(A) = norm(A, 2).

Упражнение: вычислите нормы своих матриц А по варианту.