Аналитические модели СМО

Рассмотрим одноканальную СМО с однородным потоком заявок при следующих предположениях (рис.4.1):

1) СМО содержит один обслуживающий прибор, в котором в каждый

момент времени может обслуживаться только одна заявка;

2) перед прибором имеется накопитель Н неограниченной ёмкости, что означает отсутствие отказов поступающим заявкам при их оста-

новке в очередь О, то есть любая поступающая заявка всегда найдет в накопителе место для ожидания независимо от того, сколько заявок уже находится в очереди;

3) заявки поступают в СМО с интенсивностью l;

4) средняя длительность обслуживания одной заявки в приборе равна b, причем длительности обслуживания разных заявок не зависят друг от друга;

5) обслуживающий прибор не простаивает, если в системе (накопителе) имеется хотя бы одна заявка, причем после завершения обслуживания очередной заявки мгновенно из накопителя выбирается следующая заявка;

6) заявки из накопителя выбираются в соответствии с бесприори-

тетной дисциплиной обслуживания в порядке поступления (ОПП) по

правилу «первым пришел – первым обслужен» (FIFO – FirstInFirstOut).

7) в системе существует стационарный режим, предполагающий

отсутствие перегрузок, то есть нагрузка и, следовательно, загрузка

системы меньше 1: y = r =l b <1.

Рассмотрим 3 модели СМО с однородным потоком заявок: экспоненциальную СМО М/М/1 и 2неэкспоненциальные СМО типаM/G/1, G/M/1.

Экспоненциальная СМО M/M/1

Пусть заявки, поступающие в одноканальную СМО, образуют простейший поток с интенсивностью l, а длительность t b обслуживаниязаявок распределена по экспоненциальному закону со средним значением b, причём r = лямбда* b < 1, то есть система работает в установившемся режимеТакая СМО с однородным потоком заявок называется экспоненциальной. С использованием метода средних значений [2] или марковской

модели (см.п.5.4.4) можно получить следующие выражения для расчета

средних значений:

w = rb / (1 – r) – время ожидания

u = w + b = b / (1 – r)-время прибывания

l = лямбда*w = r² / (1 – r)-длина очереди

m = лямбда*u = r / (1 – r) – число заявок в системе (очередь+обслуж)

M/G/1

Пусть заявки, поступающие в одноканальную СМО, образуютпростейший поток с интенсивностью l, а длительность t b обслуживаниязаявок распределена по произвольному закону B (t) со средним значением b и коэффициентом вариацииn b.

С использованием метода средних значений можно показать, чтосреднее время ожидания заявок определяется по формуле Поллачека-Хинчина [2]:

r =лямбда* b <1 – загрузка системы.

Резюмируя, можно утверждать, что для СМО с простейшим потокомзаявок для расчёта первых k моментов характеристик обслуживаниянеобходимо задать (k +1) моментов длительности обслуживания заявок.

G/M/1

Пусть в одноканальную СМО с интенсивностью l поступает случайный поток заявок произвольного вида, задаваемый функцией распределения интервалов между заявками A (t), а длительность t b обслуживания заявок распределена по экспоненциальному закону B (t) со средним значением b (интенсивностью m = 1/ b). СМО G/M/1 является симметричной по отношению к СМО M/G/1, рассмотренной в предыдущем пункте.

Среднее время ожидания заявок в очереди может быть рассчитано

следующим образом [9]:

w =V b /(1-V), (4.4) где V – единственный в области 0 <V < 1 корень уравнения V = A * (m -mV). (

Здесь A * (s) – преобразование Лапласа плотности распределения a (t) интервалов между поступающими в систему заявками: