Случай плоских однородных гармонических волн в вакууме

Рассмотрим скалярную однородную плоскую гармоническую волну с волновым вектором и круговой частотой ;

(75)

Напомним определение оператора "лапласиан":

(76)

Последовательно вычислим выражения

(77)

(78)

(79)

(80)

В итоге получаем соотношение:

(81)

фазовая скорость волны:

(82)

Воспользуемся полученными результатами для анализа однородной плоской гармонической электромагнитной волны;

(83)

(84)

(85)

(86)

калибровка Лоренца

(87)

приводит к уравнению:

(88)

условия удовлетворения этому требованию:

(89)

Из (88) следует соотношение между амплитудами компонент векторного потенциала и амплитудой скалярного потенциала:

(90)

В соответствии с определением потенциалов электромагнитного поля получаем зависимости

(90)

следствия:

волна поперечная (91)

действительно:

(92)

для плоских однородных гармонических волн все свойства доказаны

вектор нормали к волновому фронту

(93)

вектор Пойнтинга (он не является линейной функцией, требуется переход от комплексных выражений к действительным выражениям)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

С учётом соотношения

(100)

получаем выражение для мгновенного значения вектора Пойнтинга

(101)

основной результат при этом состоит в том, что вектор Пойнинга в рассматриваемом случае совпадает по направлению с волновым вектором, который перпендикулярен плоскости волнового фронта: