Некоторые теоремы теории вероятностей

Одним из основных понятий теории вероятностей является событие, под которым понимается всякий факт, который может произойти и не произойти.

Практически невозможное событие - это событие, вероятность которого весьма близка к нулю.

Практически достоверное событие - событие, вероятность которого весьма близка к единице. Несколько событий называются несовместимыми, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

или для любого числа несовместных событий:

Если же события А и В совместны, то вероятность их суммы:

где Р(АВ) - вероятность произведения двух событий. Произведение - совместное появление двух событий.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

или используя знак произведения П, получим:

Эти теоремы часто используют в расчетах надежности технических систем.

Пример 2.2.1. Уменьшение расхода воздуха, проходящего через фильтросные пластины, возможно вследствие: закупорки твердыми частицами пор пластин (А); кольматажа (В); технологических дефектов (С). Их вероятности: Р(А)=0,10; Р(В)=0,02; Р(С)=0,30. Определить вероятность уменьшения расхода воздуха по сравнению с расчетным.

Решение: Появление любого из событий вызывает уменьшение расхода воздуха, проходящего через фильтросные пластины. События А, В и С могут быть несовместимыми, поэтому вероятность уменьшения расхода равна сумме вероятностей этих событий:

.

Пример 2.2.2. Подъемное устройство состоит из следующих основных узлов: троса А₁, полиспаста А₂, редуктора А₃, тормоза с электромагнитом А₄, электродвигателя подъемника А₅. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу всего подъемного устройства. За время t вероятность безотказной работы составила: узла А₁ - Р₁ = 0,90; А₂ - Р₂= 0,96; А₃ - Р₃ = 0,85; А₄ – Р₄ = 0,90; А₄ – Р₄ = 0,89;. Каждый из узлов, независимо от других, может в течении времени t выйти из строя. Найти вероятность безотказной работы подъемного устройства в целом.

Решение: Появление любого из этих событий вызывает отказ всей системы, поэтому

.

Пример 2.2.3. При проверке партии деталей 90% изделий были признаны годными (событие А). Из каждой сотни годных приборов 80% были высшего качества (событие В). Определите вероятность того, что выбранная нами деталь окажется высшего качества.

Решение: Из условия задачи можно сказать, что вероятность события А равна 0,90; вероятность события В – Р(А/В) = 0,80. Тогда вероятность того, что выбранная нами деталь окажется высшего качества равна:

.