Примеры решения задач. ЗАДАЧА 2.1.1 Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27° С лежат в интервале от 1898 м/с до 1902 м/с

ЗАДАЧА 2.1.1 Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27° С лежат в интервале от 1898 м/с до 1902 м/с.

Дано: Т= 300 К; = 1898 м/с; = 1902 м/с.

Найти: -?

Решение

В данной задаче удобнее воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям. Доля молекул , относительные скорости которых заключены в интервале от u до , определяется формулой

, (7)

где – наиболее вероятная скорость; .

С учетом этих выражений формула (7) примет вид

.

Для удобства сначала вычислим

(м/с)

и отношение скоростей .

Подставим численные значения в (1) и найдем долю молекул водорода, модули скоростей которых лежат в интервале от v ₁ до v ₂ :

.

ЗАДАЧА 2.1.2 На какой высоте над уровнем моря атмосферное давление составляет 78 кПа, если температура воздуха 17⁰С и не меняется с высотой, а давление на уровне моря нормальное? Найти число частиц в единице объема на этой высоте.

Дано: T =290 К =const; р_h = 78·10³ Па; р₀ = 10⁵ Па; µ= 0,029 кг/моль.

Найти: h -? n₁ -?

Решение

Температура не меняется с высотой, для нахождения давления воспользуемся барометрической формулой

логарифмируя, получим

.

Отсюда находим h

= м; h» 2107 м;

=1,95·10²⁵ м^-3; n_h» 1,95·10²⁵ м^-3.

ЗАДАЧА 2.1.3 Броуновские частицы с массой 4 фг ведут себя в тепловом движении подобно гигантским молекулам, и к ним можно применить закономерности молекулярно-кинетической теории. Исходя из этого, определить, во сколько раз уменьшится концентрация броуновских частиц при увеличении высоты на 1 мм. Температуру принять равной 300 К.

Дано: m₀ = 4 фг = 4 10^–15 г=4 10^–18 кг; h = 1 мм = 10^–3 м; Т = 300 К.

Найти: =?

Решение

Для броуновских частиц воспользуемся распределением молекул по

высоте (распределение Больцмана):

,

где n и n₀ – концентрация молекул на высоте h и на высоте h = 0, соответственно. Выразим

.

Проведем вычисления, подставив численные значения,

.

е^9,46=12836. Итак, = 12386, то есть концентрация частиц уменьшится в 12386 раз.

2.2 Задачи к теме «Статическая физика. Распределение Максвелла. Барометрическая формула»

144. На некоторой планете ускорение на поверхности составляет 5 м/с², давление на поверхности планеты составляет 0,2 атм, а на высоте 1 км давление равно 0,1 атм. Каково давление на высоте 3 км, если предположить, что атмосфера изотермическая (t = 20°C)?

145. На некоторой планете ускорение на поверхности составляет 5 м/с², давление на поверхности планеты составляет 0,2 атм, а на высоте 1 км – 0,1 атм. Каков средний молекулярный вес газов, из которых состоит атмосфера, если предположить, что атмосфера изотермическая

(t = 20°C)?

146. На некоторой планете ускорение на поверхности составляет 15 м/с², давление на поверхности планеты составляет 0,8 атм, а на высоте 1 км – 0,5 атм. Каково давление на высоте 3 км, если предположить, что атмосфера изотермическая (t = 20°C)?

147. На некоторой планете ускорение на поверхности составляет 15 м/с², давление на поверхности планеты составляет 0,8 атм, а на высоте 1 км – 0,5 атм. Каков средний молекулярный вес газов, из которых состоит атмосфера, если предположить, что атмосфера изотермическая

(t = 20°C)?

148. На некоторой планете ускорение на поверхности составляет 10 м/с², давление на поверхности планеты составляет 2 атм, а на высоте 1 км –

1 атм. Каково давление на высоте 3 км, если предположить, что

Атмосфера изотермическая (t = 20°C)?

149. На некоторой планете ускорение на поверхности составляет 10 м/с², давление на поверхности планеты составляет 2 атм, а на высоте 1 км –

1 атм. Каков средний молекулярный вес газов, из которых состоит

атмосфера, если предположить, чт о атмосфера изотермическая

(t = 20°C)?

150. Оценить число молекул воздуха в земной атмосфере, если давление воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря равно 760 мм рт.ст., молярная масса воздуха 29 г/моль. Радиус Земли 6400 км. Ускорение свободного падения считать постоянным и равным 9,8 м/с².

151. Найти давление атмосферы на высоте 10 км, если у поверхности Земли оно равно 1000 ГПа. Считать воздух газом с относительной молекулярной массой 29 и постоянной температурой 27°С. Движение воздушных масс не учитывать.

152. На какой высоте плотность воздуха составляет 50 % от плотности его на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0°С.

153. Предполагается, что мельчайшие пылинки, находящиеся в воздухе, можно рассматривать как гигантские молекулы и применять к ним закономерности молекулярно-кинетической теории. Определить, во сколько раз снижается концентрация пылинок при увеличении высоты на 5 см. Массу пылинок принять равной 10^-19 кг. Температуру воздуха принять равной 17°С. Движение воздушных масс не учитывать.

154. На какой высоте плотность кислорода уменьшается на 1%? Температура кислорода 27°С.

155. Определить наиболее вероятную скорость v _нв молекул кислорода при 300°С и долю молекул, скорости которых лежат в интервале v _нв ±1 м/с.

156. Найти давление атмосферы на высоте 5 км, если у поверхности Земли оно равно 1000 гПа. Считать воздух газом с относительной молекулярной массой 29 и постоянной температурой 27°С. Движение воздушных масс не учитывать.

157. На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на поверхности? Температуру воздуха считать неизменной и равной 0°С.

158. Определить плотность водорода, если средняя длина свободного пробега его молекул 0,1 см. Диаметр молекулы водорода принять равным 0,23 нм.

159. Какая доля общего числа молекул газа обладает скоростями, отличающимися от средней квадратичной не больше чем на 10?

160. Определить среднюю арифметическую скорость V молекул газа, если известно, что средняя квадратичная скорость их 1000 м/с. Какая доля молекул газа обладает скоростями, лежащими в интервале v ±1 м/с?

161. Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27⁰С лежат в интервале от 1898 м/с до 1902 м/с.

162. Найти концентрацию молекул на высоте 5 км, если у поверхности Земли давление равно 1000 гПа. Считать, что атмосфера состоит из кислорода с постоянной температурой 27⁰ С. Движение воздушных масс не учитывать.

163. Найти число молекул гелия в объеме 1 см³, скорости которых лежат в интервале от 2,39×10³ м/с до 2,4×10³ м/с. Температура гелия 690 ⁰С, его плотность 2,16∙10^-4 кг/м³.

164. Найти число молекул кислорода, находящихся при нормальных условиях в 1см³ и обладающих скоростью между 450 и 452 м/с.

165. Найти число молекул азота, находящихся при нормальных условиях в 1 см³ и обладающих скоростью между 499 и 501 м/с.

166. В сосуде объемом 3 л находится 2 г водорода под давлением 0,83 МПа. Найти, сколько молекул водорода при этих условиях обладают скоростями в интервале от 1900 м/с до 1905 м/с.

167. На какой высоте плотность кислорода уменьшается на 1 %? Температура кислорода 27⁰С.

168. Какая часть молекул имеет кинетическую энергию поступательного движения, отличавшуюся от средней кинетической энергии поступательного движения на 1 %?

169. На какой высоте плотность над поверхностью Земли в два раза меньше, чем на поверхности? Температуру t воздуха считать неизменной и равной 0⁰С.

170. Какая часть молекул кислорода при комнатной температуре t = 17⁰С обладает скоростями, лежащими в интервале (V_ср ± 30м/с)?

171. Сколько весит 1 м³ воздуха: 1)у поверхности земли; 2)на высоте 4 км от поверхности Земли? Температуру считать постоянной и равной 0⁰С. Давление у поверхности земли равно 10⁵Па.

172. Высочайшая на Земле гора (Джомолунгма в Гималаях) имеет высоту 8848 м. Во сколько раз атмосферное давление на ее вершине меньше, чем у ее подножия? Температуру воздуха принять равной 0⁰С, движение воздушных масс не учитывать.

173. При каком значении скорости V пересекаются кривые распределения Максвелла для температур Т₁ и Т₂=2Т₁?

174. В баллоне объемом 10 л находится 8 г водорода под давлением

1 МПа. Найти число молекул водорода в баллоне, скорости которых

менее 20 м/с.

175. Найти давление воздуха в шахте на глубине 10 км. На поверхности земли давление равно 760 мм рт. ст. Считать, что температура воздуха 0⁰С, а молекулярная масса равна 29.

176. Найти концентрацию молекул высоте 10 км, если у поверхности Земли давление равно 1000 гПа. Считать воздух газом с относительной молекулярной массой 29 и постоянной температурой 17 ⁰С. Движение воздушных масс не учитывать.