Теорема Кронеккера-Капелли (о разрешимости СЛАУ)

Вопрос о разрешимости системы линейных алгебраических уравнений в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронеккера-Капелли.

Чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Не проводя строго доказательства теоремы, поясним его. В процессе преобразования системы уравнений (6.1) к виду (6.3) с помощью элементарных преобразований ранги матрицы системы и расширенной матрицы не изменяются. В п. 1.6 было установлено, что система уравнений (6.3) совместна тогда и только тогда, когда все свободные члены равны нулю. В этом случае ранг матрицы и ранг расширенной матрицы системы (6.1) совпадают (оба равны ).

Для совместных систем линейных уравнений справедлива следующая теорема.

Теорема о числе решений системы.

Пусть ранг матрицы, составленной из коэффициентов системы линейных уравнений, равен рангу расширенной матрицы. Тогда, если ( – число неизвестных системы), то система имеет единственное решение; если , то система имеет бесчисленное множество решений.

В случае определенности СЛАУ для ее решения подходит любой из трех методов: Крамера, Гаусса, матричный.

Если же система не определена, тогда некоторым неизвестным, которые называются свободными, можно придавать произвольные значения, а неизвестных, называемых главными (базисными), определяются через свободные единственным образом. При этом базисными переменными выбираются те, для которых определитель матрицы, составленный из коэффициентов при них, отличен от нуля. Полученные выражения главных переменных через свободные объявляются решением системы.

Например, исследуем и решим систему:

Составим расширенную матрицу системы и будем приводить ее к ступенчатому виду методом Гаусса, в итоге определим ее ранг, а ранг основной матрицы системы определим, «закрыв» столбец правых частей.

Ответ: система не совместна.

Рассмотрим пример СЛАУ Составим основную матрицу системы и найдем ее ранг.

Составим расширенную матрицу системы и найдем ее ранг:

система совместная, система неопределенная. Решим систему методом Гаусса. Преобразования расширенной матрицы системы приводят к системе уравнений вида

, значит, в качестве главных переменных можно выбрать и , а в качестве свободных – неизвестные и . Запишем систему уравнений в виде:

Обратным ходом находим:

Из 1-го уравнения

Ответ: система неопределенная.