Элементы линейной алгебры

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Изначально линейная алгебра рассматривала вопросы о решении линейных уравнений, т.е. таких, где левая часть составлялась из переменных в первой степени и к ним применялись линейные операции: умножение на постоянное число (константу); сложение. В качестве правых частей брались константы. В результате получались уравнения вида: (с одной неизвестной), (с двумя неизвестными). Эти уравнения имеют довольно простую геометрическую интерпретацию – оба задают прямые линии на плоскости.

Если неизвестных (переменных) в уравнении несколько, то для их обозначения удобно использовать индексы и обозначать: (читается «икс житое (йотое)), где определяется количеством переменных, например, при неизвестных .

Коэффициенты при неизвестных принято обозначать буквами с двойным индексом: (читается «а и житое»), где - номер уравнения, - номер переменной, перед которой стоит коэффициент. Константы, стоящие в правых частях уравнений, называются свободными членами системы и обозначаются .

Тогда, система линейных алгебраических уравнений с неизвестными (СЛАУ размера ) имеет следующий вид:

. (1.1)

Если среди свободных членов системы (1.1) есть отличные от нуля, то система уравнений называется неоднородной, в противном случае однородной:

. (1.2)

Совокупность чисел называется решением системы (1.1), если после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы (1.1) превращается в тождество (верное равенство).

Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Система уравнений, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Система уравнений, имеющая единственное решение, называется определенной.

«Решить систему» означает «найти решение или доказать, что его нет».

При решении любой СЛАУ нужно ответить на 3 вопроса (исследовать СЛАУ):

1) совместна система или нет;

2) если совместна, сколько решений она имеет (одно или множество);

3) как найти все решения системы (указать методы решения СЛАУ).

1.2 Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными   1.2.1 Понятие определителя 2-го порядка Изучение систем линейных уравнений было начато Лейбницем около 1678 г.; он использовал индексы в случае системы 3-х уравнений с 2-мя неизвестными. Лейбниц исключал обе неизвестные и в результате они определялись с помощью выражения специального вида, обращение в ноль которого было условием разрешимости системы. Такое выражение Лейбниц предложил называть определителем. Позднее, в 1748 г. Маклорен получил явные формулы для решения систем в случаях и . Последуем рассуждениям великих ученых. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Решением этой системы уравнений является пара чисел , обращающая оба уравнения системы в тождество. Для нахождения решения применим метод алгебраического сложения с последующим исключением неизвестных. Для получения (исключения ) из данной системы уравнений умножим первое уравнение системы на , а второе на , получим: . Вычтем почленно из 1-го уравнения второе: , т.е. . Полагая выражение , получаем: . Аналогично, исключая из системы уравнений (умножая 1-е уравнение системы на , а 2-е на и вычитая из второго первое), получим: . Непосредственной проверкой легко убедиться, что полученные значения и действительно удовлетворяют исходной системе, следовательно, являются решением. Определение. Выражение ,являющееся знаменателем дробей, определяющих значения неизвестных и , называется определителем (детерминантом) 2-го порядка, обозначается символом или (det) и символически записывается в виде квадратной таблицы из 4-х чисел, называемых элементами определителя: . Если элементы являются коэффициентами при неизвестных в рассматриваемой системе, называется основным определителем системы. Определитель 2-го порядка имеет 2 строки и 2 столбца, которые называются рядами, следовательно, порядок определителя равен количеству его строк или столбцов. Говорят, элементы с одинаковыми индексами лежат на главной диагонали определителя, а с разными – на побочной(вспомогательной). Таким образом, определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях. Это практическое правило вычисления определителя 2-го порядка. Примеры вычисления определителей 2-го порядка: 1.2.2 Формулы Крамера решения СЛАУ Приняв введенное нами понятие определителя 2-го порядка, замечаем, что числители в формулах для нахождения и также могут быть представлены в виде определителей 2-го порядка, которые мы назовем вспомогательными и обозначим и : , . Легко заметить, что вспомогательный определитель получается из основного определителя путем замены столбца коэффициентов при неизвестной столбцом правых частей. Аналогично составляется Тогда формулы для нахождения решения исходной системы линейных уравнений принимают следующий вид: Впервые в таком виде они были записаны Крамером в 1754 г., поэтому носят название формул Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Замечание: часто в случае СЛАУ небольших размеров неизвестные обозначают При решении подобных систем могут быть следующие случаи. 1) . Тогда система совместна и имеет единственное решение. Например, Проверка: 2) Система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Фактически система сводится к одному уравнению (второе – следствие первого), из которого неизвестные однозначно не определяются. Например, Здесь 3) но или . Тогда система несовместна. Например, Система несовместна, т.е. не имеет решений.   1.2.3 Свойства определителя   Приведем основные свойства определителя 2-го порядка. 1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами. Эта операция называется транспонированием определителя и фактически означает симметрию относительно главной диагонали. 2) При перестановке двух соседних параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину. 3) Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю. 4) Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя. 5) Если какие-либо два соседних ряда определителя пропорциональны, то он равен нулю.   6) Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю. 7) Если каждый элемент какого-то ряда представляет собой сумму двух (конечного числа) слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух (конечного числа) определителей. 8) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.   1.3 Решение системы 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными 1.3.1 Понятие определителя 3-го порядка   Пусть мы имеем систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными : . Аналогично СЛАУ с двумя неизвестными, ее решение может быть найдено в ходе последовательного исключения неизвестных (в силу громоздкости вычислений мы их не приводим). Для полученных выражений может быть введено понятие определителя 3-го порядка, для обозначения которого также используется символ а элементы записываются в 3 строки и 3 столбца: Тогда, основной и вспомогательные определители системы будут иметь вид: Считая ,находим по формулам Крамера . Заметим: 1) остается условием совместности и определенности СЛАУ, а показателем неопределенности либо несовместности системы в зависимости от значений 2) Все свойства определителей 2-го порядка относятся и к определителям 3-го порядка. Например, 3) Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений с большим числом неизвестных, следовательно, можно ввести понятие определителя произвольного ( -го) порядка. 1.3.2 Понятие определителя произвольного порядка   Аналогично определителям 2-го и 3-го порядка можно составить определитель -го порядка ( = 1, 2, 3, 4, 5…) и формально записать его в виде: Анализируя формулы для вычисления, можно заметить, что определитель 2-го порядка состоит из 2-х слагаемых, каждое из которых содержит по 2 сомножителя, для определителя 3-го порядка эти цифры составляют 6 и 3 соответственно. Рассуждая по индукции, получаем, что число сомножителей, входящих в каждое произведение, равно порядку определителя, а количество самих слагаемых равно !, при этом в каждом конкретном произведении сомножители взяты по одному из каждой строки и столбца, причем каждое произведение снабжено знаком «+» или «-» по некоторому правилу. Для определителя произвольного порядка остаются верными свойства 1 - 8, выведенные нами для определителя 2-го порядка. 4) Получим из определения детерминанта 3-го порядка правила его вычисления.   1.3.3 Методы вычисления определителя 3-го порядка 1.3.3.1 Правило треугольника При решении СЛАУ в результате последовательного исключения неизвестных в знаменателях формул для получается выражение вида: Это выражение мы назвали определителем 3-го порядка и обозначили Заметим, что оно состоит из 6-ти слагаемых, каждое из которых содержит 3 сомножителя, взятых с определенным знаком, причем эти сомножители берутся из разных строк и столбцов. Первые три слагаемые (со знаком «+») составлены как произведение элементов главной диагонали и 2 произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, построенных так, что одна из сторон каждого из них параллельна главной диагонали. Вторые 3 слагаемые (со знаком «-») построены аналогично для вспомогательной диагонали определителя. Эта формула называется Правилом треугольника. Например, вычислим, пользуясь правилом треугольника, определитель:   1.3.3.2 Правило Сарруса Фактически оно представляет собой модификацию правила треугольника и состоит в том, что исходный определитель «расширяется» путем приписывания к нему справа 1-го и 2-го столбцов (либо снизу 1-й и 2-й строк). Далее, 3 члена, являющиеся произведениями 3-х элементов в направлении главной диагонали, начиная от элементов верхней строки определителя, выписываются со знаком «+», а 3 члена, являющиеся произведениями 3-х элементов в направлении побочной диагонали, начиная от элементов нижней строки определителя, выписываются со знаком «-». Например,   1.3.3.3 Правило Лапласа (Правило разложения определителя по элементам ряда) Заметим, что в выражении определителя 4-го порядка выписывается 4!=24 слагаемых, состоящих из 4-х сомножителей каждое, что, естественно, затрудняет процесс вычисления. Следовательно, возникает необходимость в получении некой универсальной формулы вычисления определителя -го порядка. Рассмотрим ее вывод на примере определителя 3-го порядка. Но для начала нам небходимо ввести некоторые дополнительные понятия. Минором элемента определителя -го порядка называется определитель, который получается из данного вычеркиванием -й строки и –го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента обозначается . Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор, взятый со своим или противоположным знаком согласно правилу: если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если же нечетное, то с противоположным. Обозначается алгебраическое дополнение : Например, для   Обратимся вновь к формуле, выражающей определитель 3-го порядка: Произведем группировку по элементам первой строки, вынося затем за скобки множители : Выражения, стоящие в скобках представляют собой миноры элементов-сомножителей: Чтобы добиться равенства знаков, заметим: В итоге получим: или словами: «Определитель равен сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения». Такое представление определителя называется его разложением по элементам первой строки. Аналогично можно было группировать слагаемые по элементам любой другой строки или столбца. Т.е., для определителя 3-го порядка существует 6 способов разложений (у него 6 рядов) по элементам ряда. , , , , Например, вычислим определитель: . Раскрываем его по элементам первой строки . Тут Тогда Для определителя произвольного порядка данное правило было обобщено Лапласом и называется теперь правилом Лапласа или правилом разложения определителя по элементам ряда. Его формулировка: «Определитель равен сумме попарных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения». По данному правилу следует сделать несколько замечаний: 1) Определитель -го порядка выражается через определителей ( -1)-го порядка. В итоге вычисление определителя -го порядка может быть сведено к вычислению определителей 2-го порядка. 2) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. Так как в предыдущем примере 3) Вычисление определителя по правилу Лапласа значительно упрощается, если разложение производится по ряду, содержащему наибольшее количество нулей. Например, в разложение выгодно вести либо по третьему столбцу, либо по третьей строке. 4) Если определитель вообще не содержит нулей, то их можно получить, используя свойства определителей, в частности, свойство 8. Удобнее всего преобразования производить в том ряду, который содержит единицу. При этом важно помнить, что, получая нули в строке, действия следует выполнять со столбцами, и наоборот. Вычислим Так как первый столбец уже содержит один нуль и в нем есть минус единица, получим на месте тройки тоже нуль. Для этого каждый элемент третьей строки умножим на три и прибавим к соответствующим элементам первой строки. При этом меняется первая строка («к» которой прибавляем), а третья остается без изменений. Получаем: Далее раскладываем определитель по элементам первого столбца:   Теперь, когда нами получены правила вычисления определителей, рассмотрим примеры решения СЛАУ методом Крамера. Например, решим систему , для которой Теперь определяем , путем замены первого столбца столбцом свободных членов   Вычисляем Находим После этого вычисляем Проверка

Обобщим формулы Крамера для системы линейных уравнений с неизвестными.

Пусть дана система

Ее основной определитель

Теорема Крамера:

Если основной определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам:

где - определитель, полученный из основного определителя заменой -го столбца свободными членами системы.