Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

Теорема. Пусть на . Пусть . Тогда .

Доказательство. Требуется доказать, что функция непрерывна в точке , т.е. . Зафиксируем произвольное . Ввиду равномерной сходимости . В частности, . По условию, при любом функция - непрерывная. Значит, . При выбранных имеем: , что и требовалось доказать.

Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.

Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда.

Теорема (почленное интегрирование ряда). Пусть ряд равномерно сходится к своей сумме на отрезке и все . Тогда .

Доказательство. Обозначим при произвольном , . Тогда - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме - непрерывная функция, - также непрерывная функция. Тогда . Для доказательства теоремы достаточно доказать, что при , т.к., по определению, . Но . Поэтому при и требуемое утверждение доказано.

Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть на . Пусть . Тогда .

Теорема (о почленном дифференцировании ряда).