Условная сходимость. Теорема Лейбница

Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд расходится.

Теорема (Римана). Если ряд сходится не абсолютно, то для любого заданного А (так же как и для ), существует такая перестановка членов этого ряда, в результате которой получится ряд, сумма которого равна А.

Теорема. (Лейбница). Пусть для ряда выполнены условия:

1. ;

2. .

Тогда этот ряд сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству: .

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с номером : и заметим, что , т.к. по условию 1 имеем неравенство: . Кроме того, . Все слагаемые в круглых скобках, а также , по условию 1 неотрицательны и, значит, .

Таким образом, последовательность не убывает и ограничена сверху. Значит, существует предел . Кроме того, .

Осталось доказать, что . и так как по условию 2 , .

Вернемся к . Очевидно, что и . По теореме Лейбница этот ряд сходится.

Теорема. (Признак Абеля). Если ряд сходится, а числа образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд - сходится.

Без доказательства.

Теорема. (Признак Дирихле). Если частичные суммы ряда , т.е. суммы ограниченны в совокупности (т.е. ), а последовательность монотонно стремится к 0, то ряд сходится.

Без доказательства.