Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn ³ 0.
Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .
Пример. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости: Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера. (Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие
то ряд расходится.
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера. Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример. Определить сходимость ряда . Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда Вывод: ряд сходится.
|