Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

Коэффициентами.

10.1. Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x) - многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m ₁ и m₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q₁(x) и Q₂(x) – многочлены степени не выше m, где m - большая из степеней m₁ и m₂.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у₁ и у₂ – частные решения вспомогательных уравнений

и

Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (- sin x).

Составим и решим характеристическое уравнение:

1. Для функции f₁ (x) решение ищем в виде .

Получаем: Т.е.

Итого:

2. Для функции f₂ (x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f₂ (x), получаем:

Таким образом,

Итого:

Т.е. искомое частное решение имеет вид:

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: