Интегрирование рациональных функций

Определение 5.3. Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде дроби

где P (x) и Q (x) ¾ многочлены.

Из класса всех дробей выделяют основные простые дроби:

где a, p, q, M, N Î R, k Î N.

Интегралы от первых двух типов простых дробей находятся с помощью подстановки t = x - a:

Интеграл от третьего типа простых дробей рассмотрим в предположении, что знаменатель не имеет корней, т. е. q - p ² > 0. Выделим полный квадрат в знаменателе

где a ² = q - p ² > 0.

Если степень числителя выше степени знаменателя, то дробь называется неправильной; в таком случае выполнив деление, получим

где W (х) ¾ некоторый многочлен, а второе слагаемое представляет собой правильную дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Например, рассмотрим неправильную дробь

Разделим числитель на знаменатель

и выделим целую часть дроби

Целая часть дроби легко интегрируется. Следовательно, вопрос об интегрировании рациональной функции сводится к вопросу об интегрировании правильных дробей. Любую правильную дробь можно представить в виде суммы простых дробей с помощью следующих теорем.

Теорема 5.10. Каждый многочлен Q (x) с действительными коэффициентами может быть представлен единственным образом в виде

где a, b, …, ¾ корни многочлена кратности k, l,…; квадратичные множители кратности m, n,… не имеют действительных корней.

Теорема 5.11. Пусть R (x) /Q (x) ¾ правильная рациональная дробь, у которой знаменатель представлен в виде (5.1). Тогда эту дробь можно единственным образом представить в виде суммы простых дробей:

где ¾ некоторые действительные числа.

Выражение (5.2) называется разложением рациональной дроби на простые дроби, числа ¾ коэффициентами разложения.

Следствие. Пусть R (x) /Q (x) ¾ правильная рациональная дробь, у которой знаменатель ¾ многочлен степени n, имеющий n различных действительных корней a ₁, a ₂, …, a_n. Тогда эту дробь можно единственным образом представить в виде суммы простых дробей:

где A ₁, A ₂, …, A_n ¾ некоторые действительные числа.

Для определения коэффициентов разложения используют метод неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем: приводят левую часть равенства (5.2) или (5.3) к общему знаменателю и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях многочлена, полученного в числителе и многочлена R (x).

Пример 5.8. Разложим дробь

на простые дроби. Знаменатель имеет два корня ¾ 1 и 2. Воспользуемся формулой (5.3).