Топологические свойства ленты Мёбиуса.

Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы, что весь он полностью окрашен.

Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т.д. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

«Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Опыты с лентой.

Чтобы изучить его свойства, было проведено несколько опытов, которые были разделены на две группы:

I группа

Опыт № 1. Начать красить лист Мёбиуса, не переворачивая его.

Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

«Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»

Опыт № 2. На внутреннюю сторону обычного кольца посадить бумажного Паука, а на наружную - бумажную муху, разрешить ползать как угодно, запретив перелазить через края кольца.

Результат. Паук не сможет добраться до мухи.

Опыт № З. Посадить муху и паука на лист Мебиуса, разрешить ползать как угодно, не перелазив через края.

Результат. Паук догнал муху.

Опыт №4. Вырезать из бумаги солдатика и отправил его вдоль пунктира,

идущего по середине листа Мебиуса.

Результат. Солдатик вернулся в то же место, от куда начал движение, но

в перевернутом виде.

II группа опытов

связана с разрезанием листа Мебиуса, результаты заненсены в таблицу.

Выводы:

1. Лист Мебиуса имеет один край.

2. Лист Мебиуса имеет одну сторону.

3. Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лепта Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

4. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Подобные объекты.

1.Бутылка Клейна.

Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Бутылка Клейна - это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном (Felix Klein). Эта поверхность тесно связана с загадочной поверхностью ленты Мебиуса. Исходное название бутылки Клейна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхность) поверхность Клейна. Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и

В отличие от реальных бутылок, поверхность Клейна не имеет границы, где бы она прерывалась.

Если рассечь бутылку Клейна на две половинки вдоль плоскости симметрии, то получатся две зеркальных ленты Мебиуса, одна - с разворотом вполоборота вправо, другая - с разворотом вполоборота влево. Фактически, возможно рассечь бутылку Клейна так, что получится одна лента Мебиуса.

Практическое применение ленты Мёбиуса.

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Мы рассмотрели применение листа Мёбиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников.

Есть гипотеза что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.
Конечно же главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

А лет восемнадцать назад лента нашли совсем другое применение – она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же, поправ все законы, направление срабатывания не меняет, подобно механизму с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель. Такой же механизм пригодится и в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечив возвращение рулевого колеса в начальное положение в случае отсутствия обратной связи между рулём и управляемыми элементами. Такой стабилизатор можно скомпоновать прямо на валу рулевого колеса, что уменьшит нагрузки и упростит конструкцию.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса лент конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).. В матричных принтерах красящая лента также имела вид лист Мёбиуса для увеличения срока годности.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретенный€ электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Никола Тесла запатентовал подобное устройство в начале 1900-ых, патент US#512,340. Катушка для Электромагнитов предназначалась для использования с его системе глобальной передачи электричества без проводов.

Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир­ке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).