Примеры для решения в классе.

План практических занятий курса

«Исследование операций»

Практика 1

Составление математических моделей задач

Пример.

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 тонны молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 019 машино-ч. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-ч, а автоматы по расфасовке сметаны – 16,25 ч. рибыль от реализации 1 тонны молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение.

Предположим, что молочный завод будет ежедневно производить х ₁ тонн молока, х ₂ тонн кефира и х ₃ тонн сметаны. Тогда ему для изготовления этой продукции необходимо 1010 х ₁ + 1010 х ₂ + 9450 х ₃ кг молока.

Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно выполняться неравенство

1010 х ₁ + 1010 х ₂ + 9450 х ₃ £ 136000.

Рассуждения, проведенные относительно возможного использования линий разлива цельномолочной продукции и автоматов по расфасовке сметаны, позволяют записать следующие неравенства:

0,18 х ₁ + 0,19 х ₂ £ 21,4,

3,25 х ₃ £ 16,25.

Так как ежедневно должно вырабатываться не менее 100 т молока, то

х ₁³ 100.

Общая прибыль от реализации х ₁ тонн молока, х ₂ тонн кефира и х ₃ тонн сметаны равна 30 х ₁ + 22 х ₂ + 136 х ₃ руб.

Таким образом, приходим к следующей математической задаче.

Имеется система четырех линейных неравенств с тремя неизвестными

1010 х ₁ + 1010 х ₂ + 9450 х ₃ £ 136000,

0,18 х ₁ + 0,19 х ₂ £ 21,4, (1)

3,25 х ₃ £ 16,25,

х ₁³ 100.

и линейная функция относительно этих же переменных

F = 30 х ₁ + 22 х ₂ + 136 х ₃; (2)

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (1) найти такое, при котором функция (2) принимает максимальное значение. Так как система (1) представляет собой совокупность неравенств и функция (2) линейная, то исходная задача является задачей линейного программирования.

Примеры для решения в классе.

1. На швейной фабрике ткань может быть раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных изделий. Пусть при j -том варианте раскроя (j =1, …, n) 100 м² ткани изготавливается b_ij деталей i -того вида (i= 1, …, m), а величина отходов при данном варианте раскроя равна c_j м². Зная, что деталей i -того вида следует изготовлять В_i штук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах. Составить математическую модель задачи.

Ответ: x_j – количество м² ткани, раскроенной по j -тому варианту.

Система уравнений:

b_{i 1} x ₁ + b_{i 2} x ₂ +…+ b_in x_n=B_i (i= 1, …, n)

Целевая функция:

F = c ₁ x ₁+ c ₂ x ₂+ … + c_nx_n ® min.

2. В m пунктах могут быть размещены предприятия, производящие некоторую однородную продукцию. Эта продукция поступает в n пунктов ее потребления, причем в j -том пункте потребности в продукции равны а_j единицам. Затраты, связанные с доставкой единицы продукции с i -того пункта отправления в j -тый пункт потребления, составляют с_ij рублей. Известно, что в i -том пункте изготовления продукции максимальный объем ее производства не может превышать b_i единиц, а затраты, связанные с изготовлением единицы продукции, составляют d_i рублей. Определить такое размещение предприятий, при котором обеспечиваются потребности в продукции в каждом из пунктов ее потребления при наименьших общих затратах, связанных с производством и доставкой продукции.

3. Имеется три участка земли, на которых могут быть засеяны кукуруза, пшеница, ячмень и просо. Площадь каждого из участков соответственно равна 600, 180 и 220 га. С учетом наличия семян кукурузой, пшеницей и ячменем и просом следует соответственно засеять 290, 180, 110 и 420 га. Урожайность каждой из культур для каждого из участков различна и задается матрицей

Определить, сколько га каждой культуры на каждом из участков следует засеять так, чтобы общий сбор зерна был максимальным.

4. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на трех типах оборудования. Время обработки каждого из изделий на оборудовании данного типа приведено в таблице. В ней указаны затраты, связанные с производством одного изделия каждого вида.

Оборудование I и III типов предприятие может использовать не более 26 и 39 часов. При этом оборудование II типа целесообразно использовать не менее 4ч. Требуется определить, сколько изделий каждого вида следует изготовить предприятию, чтобы себестоимость одного изделия была минимальной.

Ответ: х ₁ – количество изделий вида А; х ₂ – количество изделий вида В.

Общие затраты на их производство: 2 х ₁ +3 х ₂ руб, себестоимость одного изделия F = (2 х ₁ +3 х ₂)/(х ₁ + х ₂).

Система уравнений:

2 х ₁ +8 х ₂ £ 26

х ₁ + х ₂ ³ 4

12 х ₁ +3 х ₂ £ 39

5. В аэропорту для перевозки пассажиров по n маршрутам может быть использовано m типов самолетов. Вместимость самолета i -того типа равна а_i человек, а количество пассажиров, перевозимых по j -му маршруту за сезон, составляет b_j человек. Затраты, связанные с использованием самолета i -того типа на j -м маршруте, составляют с_ij руб.

Определить сколько самолетов данного типа и на каком из маршрутов следует использовать, чтобы удовлетворить потребности в перевозках при наименьших общих затратах.

6. Для строительства четырех объектов используется кирпич, изготовляемый на трех заводах. Ежедневно каждый из заводов может изготовлять 100, 150 и 50 условных единиц кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов соответственно равны 75, 80, 60 и 85 условной ед. Известны также тарифы перевозок 1 условной ед. кирпича с каждого из заводов к каждому из строящихся объектов: