Площадь криволинейной фигуры

Зададим на отрезке (а и b – конечные числа) неотрицательную непрерывную функцию . Изобразим ее график и определим понятие площади фигуры, ограниченной кривой , осью , прямыми и и вычислим эту площадь. Проведем разбиение отрезка на частей точками , выберем на каждом из полученных отрезков (j = 0, 1, …, n –1) по произвольной точке определим значения функции в этих точках и составим сумму: которую называют интегральной суммой и которая равна сумме площадей прямоугольников. Будем теперь стремить все к нулю, причем так, чтобы максимальный (самый большой) частичный отре­зок разбиения стремиться к нулю. Если при этом величина стремиться к оп­ределенному пределу , не зависящему от способов разбиения и выбора точек . Тогда величину назовем площадью нашей криволинейной фигуры. Т. о.:

.

Отвлекаясь от операции нахождения площади, будем рассматривать эту операцию как нахождение некоторого числа по данной функции , заданной на отрезке : .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы, когда максимальный частичный отрезок разбиения стремиться к нулю.

Пусть задана непрерывная на функция и пусть есть ее первообразная. Теорема Ньютона-Лейбница утверждает справедливость следующего равенства: .

Основные методы интегрирования