Векторы в декартовой системе координат

Выражение физических законов в векторной форме отличается изяществом и лаконичностью. Однако бывает полезно перейти от векторов к определенным системам координат, из которых наиболее удобной является прямоугольная декартовая система координат.

Декартова система координат определяется заданием любой правой тройки взаимно перпендикулярных единичных векторов , , . Направление вектора определяется правилом правого винта, т. е. .

Любой вектор можно выразить так:

Здесь – проекции вектора на соответствующие координатные оси:

, , .

Любой вектор считается заданным тройкой чисел () в данной системе координат.

Найдем скалярное произведение двух векторов в декартовой системе координат, воспользовавшись естественными равенствами:

, , , , , .

Для квадрата вектора имеем

.

Векторное произведение единичных векторов равно:

,
,

поэтому векторное произведение двух векторов равно:

Эквивалентная запись векторного произведения через определитель:

.

1.1

Пример: ;

1.2 Запишите векторы представленные на рисунке 1 в декартовой системе координат (через единичные орты осей ОX и OY и ).

Пример:

1.3 Найдите сумму векторов с рисунка 1 графически и аналитически:

а) ; б) ;в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) .

Пример:

1.4 Найдите разность векторов с рисунка 1 графически и аналитически:

а) ; б) ;в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) .

Пример:

1.5 Определите скалярное произведение двух векторов с рисунка 1

а) ; б) ;в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) .

Пример:

1.6 Определите векторное произведение двух векторов с рисунка 1

а) ; б) ;в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) .

Пример:

Приложение 2

Основы математического анализа

Если функция f имеет в точке x производную, то существует предел:

где .

Отсюда следует, что

где при

Таким образом, (1)

Если ввести обозначение , то равенство (1) можно записать следующим образом:

(2)

говорят, что функция f дифференцируема в точке если ее приращение Dy в этой точке можно записать в виде (2), где А – некоторая константа, не зависящая от Dx, но вообще говоря зависящая от x. Если функция имеет в точке x производную, то она дифференцируема в этой точке (). Верно и обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке x, т. е. ее приращение в точке x представимо в виде (2), то она имеет производную в точке x равную А.

Если , то приращение функции эквивалентно при первому слагаемому правой части (2) (). В этом случае, когда , член называют главным линейным членом приращения. Приближенно, пренебрегая бесконечно малой высшего порядка, при малых можно считать равным главному члену.

Главный линейный член приращения называют дифференциалом функции в точке (соответствующим приращению независимой переменной ) и обозначают так:

.

Приращение независимой переменной обозначают ( для дифференциала функции от ), таким образом дифференциал функции в точке записывается так

.

Отметим очевидные формулы:

.

Производная функции от функции

Пусть задана функция от функции , где , . При этом функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда существует производная от в точке , равная:

.

Таблица производных простейших элементарных функций.

1.

2. , а – любое число

3. , в частности

4. , в частности, при :

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.