Решение невырожденных линейных систем.

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

или в матричной форме А * Х = В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдём решение данной системы уравнений в случае ∆ ≠ 0.

Умножив обе части уравнения А * Х = В слева на матрицу А^-1, получим А^-1 * А * Х = А^-1 * В. Поскольку А^-1 * А = Е и Е * Х = Х, то Х = А^-1 * В.

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

,

то есть

Отсюда следует, что

х₁ = (А₁₁b₁ + А₂₁b₂ + … +А_пb_п) / ∆,

……………………………………………

х_п = (А_1пb₁ + А_2пb₂ + … + А_ппb_п) / ∆.

Но А₁₁b₁ + A₂₁b₂ + … + A_п1b₁ есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель ∆₁ получается из определителя ∆ путём замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Итак, х₁ = ∆₁ / ∆.

Аналогично: х₂ = ∆₂ / ∆, где ∆₂ получен из ∆ путём замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; х₃ = ∆₃ / ∆, …, х_п = ∆_п / ∆.

Формулы х_i = ∆_i / ∆, i = 1,n

называются формулами Крамера.

Пример 4.3. Решить систему

Решение:

Значит,

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какой вид имеет система линейных алгебраических уравнений?

2. Как записать систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме?

3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

4. Какая система уравнений называется совместной (несовместной)?

5. Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений?

6. Сформулируйте правила решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений.

7. Сформулируйте правила решения систем с помощью обратной матрицы.

8. Сформулируйте правила решения систем методом определителя (формулы Крамера).