Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителем всех порядков, некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1(« Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами,

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

Свойство 6 («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда умноженные на любое число.

Пример 2.3. Доказать, что

Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента а_ij определителя п-го порядка называется определитель п – 1-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается т_ij.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j – чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётная. Обозначается А_ij: А_ij = (-1)^{i + j} * m_ij.

Так, А₁₁ = + т₁₁, А₃₂ = - т _32.

Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример 2.4. Вычислите определитель матрицы

Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого- либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, а₁₁А₂₁ + а₁₂А₂₂ + а₁₃А₂₃ = 0.

1. Лекция № 3. Нахождение обратной матрицы.

Основные понятия.

Пусть А – квадратная матрица п -го порядка

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель∆ = det А не равен нулю: ∆ = det А = 0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.

Обратная матрица.

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведём доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Составим союзную матрицу

и найдём произведение матриц А и А^*:

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей.

Аналогично убеждаемся, что

А^* * А = det А * Е.

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

А * (А^*/ det A) = Е и (А^*/ det А) * А = Е.

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

Отметим свойства обратной матрицы:

1. det (А^-1) = 1 / det А;

2. (А * В)^-1 = В^-1 * А^-1;

3. (А^-1)^Т = (А^Т)^-1 .

Пример 3.1. Найти А^-1, если А=

Решение: 1) Находим det А:

2) Находим А^*: А₁₁ = 1, А₂₁ = -3, А₁₂ = - (-1) = 1, А₂₂ = 2, поэтому

3) Находим А^-1:

Проверка:

Пример 3.2. Определить, при каких значениях α существует матрица, обратная данной.

.

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдём определитель матрицы А:

Если 4α – 9 = 0, т.е. α = 9/4, то ∆А = 0, т.е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В, если

Решение: Найдём произведение матиц А и В:

Аналогично В * А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В.

Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера т х п.

Выделим в ней к строк и к столбцов (к ≤ min(т;п)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель к -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить С ^к_м * С^к_м штук, где С ^к_п = п! / к!(п – к)! – число сочетаний из п элементов по к.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rang A.

Очевидно, что 0 ≤ r ≤ min(m;n), где min (m;n) – меньшее из чисел т и п.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 3.4. Найти ранг матрицы:

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля 3 6 = -15 ≠ 0. Значит, r(A) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3

1 -3

строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы

используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что

То есть

Таким образом, ранг матрицы А равен r(А) = 2.

1. Лекция № 4. Системы линейных уравнений.

Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т уравнений и п неизвестных, называется система вида:

где числа а_ij, i = 1,т, j =1,п называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами. Подлежат нахождению числа х_п.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме А * Х = В.