Решение систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли:

Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п неизвестными

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместимости этой системы даёт теорема Кронекера-Капелли.

Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем её без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений.

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(А) ≠ r(А), то система несовместна.

2. Если r(А) = r(А) = r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные п – r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 4.1. Исследовать на совместность систему

Решение:

Таким образом, , следовательно, система несовместна.

Пример 4.2. Решить систему

Решение: . Берём два первых уравнения:

Следовательно, х₃ = -х₁ + 2х₂, х₄ = 1 – общее решение. Положив, например, х₁ = 0, х₂ = 0, получаем одно из частных решений: х₁ = 0, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 1.