Розв'язання задач на основні формули

1.Батьки студента бажають покласти в банк, який виплачує 10% складних річних таку суму К, щоб їх син першокурсник міг знімати з цього рахунку кожний місяць 10000/p гр. та вичерпати увесь рахунок в кінці 6.5-річного (разом з магістратурою) строку навчання. Яку суму мають покласти в банк батьки ст-та,якщо ?

Розв'язання. В цьому фінансовому контракті відбувається як-би “погашення кредиту”,наданого банку. =6.5 12=78 місяців. За формулою (П­­­_1)

=47654.63(гр.)

2.АТ створює благодійний фонд, вкладаючи в кінці кожного місяця внесок в банк в розмірі 40000/p гр.од. під складні 15% річних.Визначити розмір фонду:а)черз 5 років;б)через 10 років..

Розв'язання. а) .За формулою ( Н_1)

295248.4(гр.од.).

б) .

3.. Визначити, яку суму треба вкладати в банк щомісяця, щоб при ставці 8% складних річних через 5 років одержати 60000гр.од.

Розв'язання. а) .За формулою ( Н_2)

9799(гр.од.). В формулі ( Н_2) Р-щорічний внесок.Щомісячний внесок (гр.од.).

4.. Протягом скількох років необхідно вкладати в кінці кожного місяця по 10000/p грн. при 11.5% скл-их річних, щоб одержати суму 60000 грн, якщо ?

Розв'язання. Оскільки треба знайти строк ренти при нарощенні, то за формулою (Н_3)

4.58(року).

5. Протягом скількох років може бути погашена позика 40000 гр.,якщо сума щомісячного погашення 8000/p гр. при складній річній ставці 13.5%?

Розв'язання. Оскільки треба знайти строк ренти при погашенні, то скористаємось формулою

(П_3)

8.37року.

6..Для накопичення суми грошей під майбутні цілі в банк вкладається 3000гр. щомісяця, при річній ставці 8%. Яка сума буде отримана наприкінці 5-го року?

Розв'язання У формулі (3.2) та (Н_1) Р величина щорічного внеску, а в даному прикладі щомісячний внесок, тому застосовуємо наступну формулу

Числові ряди

Основні поняття

Означення 1. Послідовністю називається функція, яка визначена на множині натуральних чисел: . Число називається –м членом послідовності й позначається , або .

Для послідовності використовуються позначення

; .

Наприклад 1.

2.

Означеня 2. Нехай - послідовність дійсних чисел. Рядом, який породжується послідовністю називається вираз

(1)

- n-та часткова сума ряду (1)–це сума перших його членів. Утворимо послідовність

……………………..

……………………..

Означеня 3 Якщо існує границя ,то ряд (1)називається збіжним,а число S називається його сумою. Якщо границі не існує,то ряд (1) називається розбіжним. та суми не має

Якщо ряд (1) збігається до S, то величина називається n-тим залишком ряду. Очевидно,що є також збіжним рядом,причому

Приклад 1. Геометричний ряд збігається,якщо

і розбігається при . Дійсно, .

Таким чином,при і отже, .

Якщо послідовність скінченоі границі не має.Таким чином, ряд при розбігається.

Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається, то –й член ряда прямує до нуля при

.

Наслідок. Якщо, то ряд (1) розбігається