Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В. Алгебра. 8 класс, учебник. – 15 изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2013. – 254 с.

33. Никольский С.М., Потапов М.К. « Алгебра» 9 класс, учебник для общеобразовательных организаций, «Просвещение» 2014.

34. Осколков В. А. и др. Сборник конкурсных задач по математике с решениями и ответами. – М.: МИФИ, 2003. – 92 с.

35. Просветов Г.И. Графики функций. – М.: Альфа-пресс, 2010.

36. Рванова А.С. Проектирование и реализация целевого и содержательного компонентов элективных курсов для классов математического профиля на основе локальной аксиометизации: автореферат дис. …кандидата педагогических наук: 13.00.02 /Рванова Алла Сергеевна; [Место защиты: Ом.гос.пед.ун-т]. – Омск, 2006. – 22с.

37. Савицкая Н. Элективные курсы в профильном обучении //Народное образование, 2004. - №6. – 275-277 с.

38. Сафонов Г. Элективные курсы в профильных классах //Народное образование, 2005. - №6. – 213-219 с.

39. Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями. – М.:КДУ, 2011. – 3-е изд. – 360 с.

40. Теляковский С.А. «Алгебра» 8 класс, «Просвещение», 2008.

41. Шахмейстер А.Х. «Задачи с параметрами в ЕГЭ».С.-Петербург, 2004г.

42. Шенцева Т. А., Прудских А. Г. Элективный курс "Задачи с параметром" // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2014. – Т. 12. – 191–195 с.

43. Шивринская Е.В. Задачи с параметрами как средство повышения мотивации обучения математике, 2002.- 10с.

44. Ястребинецкий Г.А. «Уравнения и неравенства с параметрами», Москва, «Просвещение», 2007.

Приложение

Решение некоторых задач:

15. При каких положительных значениях а уравнение имеет одно решение?

Решение. Нарисуем графики функций и . График при каждом а представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Итак, нам надо найти положительные значения а, при которых графики и не пересекаются.

В этом месте некоторые школьники рассуждают так: Найдем а, при которых прямая проходит через точку А (3;14) (Рис.1). Подставляя координаты точки А в , получаем неравенство 14= а *3. Откуда а = . Следовательно, при 0 < а < прямая пройдет ниже точки А и решений не будет.

Рис.1.

Ответ: 0 < а <

42.При каких а все решения уравнения

удовлетворяют условию х > 1.

Решение.

Случай 1. , т.е а =0 или а =-1.

Рассмотрим обе эти возможности. При а =0 имеем уравнение 0* х =0, которое имеет решениями все хϵR. Следовательно, а =0 условию задачи не удовлетворяет, т.к. часть решений в этом случае ≤1.

Значение а =-1 также условию задачи не удовлетворяет, т.к. в этом случае имеем уравнение 0* х =-1, которое вообще не имеет решений.

Случай 2. а ≠0, а ≠-1. Тогда - решение уравнения. Решим неравенство х >1. Имеем

Решением последнего неравенства будут все а ϵ (-∞;-2)ᴗ (-1;+∞). Теперь нам осталось выколоть точку а =0.

Ответ: а ϵ (-∞;-2) ᴗ (-1;0) ᴗ (0;+∞).

55.Найти все значения а, при которых уравнение

имеет два решения.

При решении уравнения надо отдельно рассматривать два случая: и . В первом случае исходное уравнение будет линейным, во втором – квадратным.

Решение. Случай 1. , т.е. а =- . Тогда уравнение имеет вид: 3 х - . Это уравнение имеет единственное решение х = . Следовательно, а =- условию задачи не удовлетворяет.

Случай 2. , т.е. а ≠- . Тогда уравнение – квадратное. Чтобы оно имело два решения, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант

был положительным. Решая неравенство , находим а ϵ (-2;3). Теперь, выкалывая из этого промежутка точку а =- , получаем

Ответ: а ϵ (-2; - ) ᴗ (- ;3).

56.Найти все значения а, при которых уравнение

имеет не более одного решения.

Решение. Случай 1. , т.е. а =-1. Тогда уравнение имеет вид или х -4=0, которое, очевидно, имеет единственный корень х =4. Следовательно, а =-1 удовлетворяет условию задачи.

Случай 2. . Тогда уравнение – квадратное. Нам подходят а, при которых уравнение имеет либо один корень (тогда Д=0), либо не имеет корней (в этом случае Д<0). Итак, имеем систему

Д . Неравенство выполняется для а ϵ (-∞; ] ᴗ[ ).

Учитывая значение а =-1, запишем окончательный ответ.

Ответ: а ϵ (-∞; ] ᴗ[ ) и а =-1.

58.При каких значениях параметра а корни уравнения

удовлетворяют неравенству х > 5?

Решение. Коэффициент при положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, чтобы выполнялись условия задачи, график этой параболы должен проходить относительно точки 5 как показано на рис.2, т.е. пересекать ось Ох в точках, лежащих на оси Ох правее точки 5.

Рис.2.

Последнее имеет место при выполнении следующих условий

Ответ: а ϵ [6;10).

59.При каких а корни уравнения

будут положительными?

Решение. Положительный корень, означает, что корни уравнения больше, чем 0. В этой задаче нельзя сразу утверждать, что наше уравнение квадратное. Это зависит от коэффициента а +1.

Случай 1. а +1=0, т.е. а =-1. Тогда уравнение принимает вид: х -3=0, откуда х =3>0. Следовательно, а =-1 удовлетворяет условию задачи.

Случай 2. а +1 > 0. Тогда, наше уравнение – квадратное, и чтобы его корни были больше нуля, график функции должен быть расположен так, как на рис.3 а).

Для этого необходимо и достаточно выполнение следующих условий

Рис.3.

Случай 3. а +1 < 0. Тогда, чтобы его корни были положительными (рис.3 б), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Объединив решения в случаях 1-3, получим

Ответ: а ϵ ( ] ᴗ (2;+∞).

60.При всех а решить уравнение

Решение.

Случай 1. . В этом случае уравнение – линейное.

а) При а =1 имеем .

в) При а =-1 имеем .

Случай 2. а ≠1, а ≠-1. Тогда исходное уравнение квадратное. Имеем, Д= .

а) Если Д<0↔ то решений нет.

в) Если Д>0↔ , то с учетом того, что а ≠±1, уравнение имеет два решения и

с) Если Д=0↔ уравнение имеет один корень:

1. При уравнение принимает вид . Его единственный корень х =- .

2. При уравнение имеет вид , единственный корень которого х = .

Ответ: при решений нет; при а =1 решение х =- ; при а =-1 решение х = ; при решение х =- ; при решение х = при решения .

63.При каких а неравенство

не выполняется ни для одного значения х.

Решение. Нам надо найти такие параболы, у которых ни при каком х не выполняется у > 0.

Рис.4. Рис.5. Рис.6.

Парабола на рис.4 не удовлетворяет условию задачи, т.к. при х ϵ (-∞; )ᴗ() выполняется у > 0. Парабола на рис.5 нам также не подходит, т.к. при х ϵ (-∞; ) ᴗ (), выполняется у > 0. И, наконец, график на рис.6 также не подходит, т.к при всех х ϵ R значение у > 0.

Ответ: таких а нет.

64.При каких а из неравенства

выполняется при всех х, удовлетворяющих условиям 1 < х ≤ 4?

Решение. Умножив обе части неравенства на (-1), получим равносильное неравенство:

Итак, нам надо найти все а, при которых неравенство выполняется при всех х из промежутка (1;4]. Как обычно, нарисуем график квадратного трехчлена .

Очевидно, что нам не подходят параболы, находящиеся над осью Ох, т.к. ни при одном х не выполняется неравенство у < 0. Так же нам не подходят параболы, касающиеся оси Ох.

Из парабол, пересекающих ось Ох в двух точках, нам подходят только те, у которых промежуток (1;4] находится между корнями и (Рис.7).

И сразу же посмотрим, подходят ли нам параболы, проходящие через точки х =1 или х =4 (рис.8 и 9).

Очевидно, что случай, изображенный на рис.8, нам не подходит, т.к. у (4)=0, а должно быть по условию задачи у (4) < 0. А случай на рис.9 нам подходит. Никакое другое расположение корней квадратного трехчлена относительно промежутка (1;4] нам не подходит.

Рис.7. Рис.8. Рис.9.

Объединяя теперь случаи на рисунках, имеем систему:

Ответ: а ϵ (-∞; ].

Date: 2016-07-22; view: 506; Нарушение авторских прав