Позиционные системы счисления

Системы счисления. Виды систем счисления. Двоичная, восьмиричная, десятиричная, шестнадцатиричная системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ИЗОБРЕТЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Древние греки построили геометрию, которую до сих пор изучают в школе. Они сумели доказать важнейшие теоремы, но считать они не умели. В древнем Риме придумали "римские цифры", но выполнять арифметические действия над ними - безнадежно.

Крупнейшим событием в развитии человечества является изобретение позиционной (десятичной) системы счисления. Появилась эта система, вероятно, в Индии. В этой системе значение цифры зависит от позиции, которую цифра занимает в числе. В самой первой цифре справа указывается число единиц, в следующей — число десятков, еще левее число сотен и т.д.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЧЕРЕЗ ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Рассмотрим какое-нибудь число, например 1 579 320. Каждая из цифр в данном числе несет двойную информацию: во-первых, собственное значение — 0,2,3,9 и так далее, во-вторых - место, которое она занимает в за­писи числа, то есть разряд. Если мы разобьем наше число на разряды, то оно может выглядеть так:

1*1000000+ 3*100000+7*10000+9* 1000+3* 100+2*10+0*1. Это же выражение может быть записано в следующем виде:

1 *10⁶+ 5*10⁵+7*10⁴+9*10³+3*10²+2*10¹+0*10⁰

Появилась закономерность, позволяющая только при помощи десяти знаков (цифр) записать любое, сколь угодно большое число.

После появления десятичной системы появились и правила (алгоритмы) сложения, вычитания, умножения (столбиком), деления (уголком). Появились и десятичные дроби.

Однако с технической точки зрения основание 10 не слишком удобно; в цепях электрических схем необходимо для этого иметь 10 различных сигналов (хотя десятич­ная система использовалась в механических арифмомет­рах). С технической точки зрения, чем меньше сигналов в схеме, тем лучше. Наименьшее основание, которое мо­жет быть у позиционной системы счисления, — это 2.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ И НАОБОРОТ

Возьмем любое двоичное число, например 111 и запишем его через степени числа 2: 1*2²+1*2¹+1*2⁰. После преобразований получаем десятичное число 7. Ясно, что подобным образом можно представить любое натуральное число- Это правило (алгоритм) работает для перевода из любой системы счисления в десятичную.

Существует также несложный алгоритм перевода чисел из десятичной системы в двоичную;

1 шаг. Разделить числа на 2 и зафиксировать оста­ток (0 или 1) и частное.

2 шаг. Если частное не равно нулю, то разделить его на 2, и так далее. (Процесс деления частных продолжать до тех пор, пока частное не станет равным нулю)

3 шаг. Если частное равно нулю, то записать все полученные остатки, начиная с первого, справа налево.