Задачі підвищеної складності

1. При яких значеннях а рівняння не має дійсних коренів?

1) х ² + 4 х – а = 0;

2) (а – 1) х ² + (2 а – 3) х + а = 0;

3) (а – 2) х ² – 2(а – 3) х + а + 1 = 0;

2 х ² + (2 а + 12) х + а ² + 2 а + 26 = 0.

2. Розв'яжіть нерівність:

1) ах > 0;2) ах < 1;3) ах ≥ а; 4) а ² х ≤ 0; 5) а + х < 2 – ах;

6) 2(х – а) < ах – 4; 7) (a – 2) x > a ² – 4; 8) (а + 3) х ≤ а ² – 9.

3. Розв'яжіть систему нерівностей:

1) 2)

4. Розв'яжіть нерівність:

1) | х + 2| + 3 х ≥ 5; 2) | х – 6| - 7 х < 18; 3) | х + 1| + | х – 1| ≤ 2.

5. Доведіть, що:

1) (а + b) ≥ 4, якщо а > 0, b > 0;

2) (а + 6)(b + 3)(с + 2) ≥ 48 , якщо а ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0;

3) при всіх дійсних значеннях а.

6. Дано функцію: Знайдіть f (-5); f (-2); f (3); f (7,6). Побудуйте графік цієї функції.

7. Знайдіть область визначення функції .

8. Виконавши геометричні перетворення графіків елементарних функцій, побудуйте графік функції:

1) у = ; 2) у = |х ² – 3|;3) y = х ² – 6| х | + 5.

9. Парабола, що є графіком квадратичної функції у = ах ²+ bх + с, має вершину в точці М(2; 1) і проходить через точку К (-1; 5).Знайдіть значення коефіцієнтів a, b і с.

10. Побудуйте графік функції:

1) у = ; 2) у = х ² – 5 х – 14.

11. Нехай х ₁ і х ₂— нулі квадратичної функції y = 4 x ² – (3 а + 2) x + а – 1. Знайдіть, при яких значеннях а виконується нерівність x ₁ < 3 < x ₂.

12. Розв'яжіть нерівність:

1) х ² – (а + 3) х + 3 а < 0;2) х ² + (1 – 3 а) х + 2 а ² – 3 а – 2 > 0.

13. Знайдіть розв'язки нерівності:

1) | х ² – х – 3| < 9; 2) | х ² + 5 x | > 6;

3) |х – 4|(х + 2) > 4 х;4) x ² – 4| x | < 12.

14. Побудуйте графік рівняння:

1) | 2 х – у| = 5;2) х ² + 7 у ² = 0;

3) | х | + | у | = 5; 4) у = .

15. Скільки розв'язків залежно від а має система рівнянь:

1) 2)

16. Доведіть, що якщо a, b і с — три послідовні члени арифметич­ної прогресії, то a ² + 8 bc – (2 b + c).

17. Розв'яжіть рівняння:

1) 5 + 9 + 13 +... + 4 п + 1 = 324; 2) 4 + 10 + 16 +... + х = 310.

18. Група учнів брала участь у лижному кросі. Кількість учнів, які виконали норматив, виявилася від 94,2% до 94,4%. Яка найменша можлива кількість учнів брала участь у кросі?

19. У посудині об'ємом Vл міститься р -відсотковий розчин солі. З посудини виливають а л суміші і доливають стільки ж води, утворений розчин перемішують. Таку процедуру повторюють 5 разів. Знайдіть відсотковий вміст солі в утвореному роз­чині.