Методы получения Точечных оценок

Метод моментов основан на приравнивании моментов (центральных, начальных) СВ X к их выборочным оценкам. При этом число составляемых уравнений равно числу неизвестных параметров.

Пример. Пусть Х ~ R(a, b), где a и b - неизвестные параметры. Нужно найти точечные оценки A и B параметров a и b соответственно.

Согласно этому методу нужно вычислить два момента (начальный 1-го порядка и центральный 2-го порядка) СВ X: mX = (a+b)/2 и DX = (b-a)2/12 и составить два уравнения (1) и (2), приравнивая моменты (A+B)/2 и (B-A)2/12 к их соответствующим выборочным значениям и . Следовательно:

Метод максимального правдоподобия (Метод МП). Пусть получена конкретная выборка x₁, x₂,..., x_n объема n и известен закон распределения СВ X с точностью до параметров J₁, J₂,..., J_k. В качестве оценок неизвестных параметров J₁, J₂,..., J_k, по этому методу принимают значения Q₁, Q₂,..., Q_k, которые называют МП-оценками. Для их нахождения составим так называемую функцию правдоподобия:

где p_i(J₁, J₂,..., J_k) = P{X_i = x_i} - вероятность того, что СВДТ X_i примет значение x_i; f(x; J₁, J₂,..., J_k) - плотность распределения СВНТ X. Функция T(x₁, x ₂,..., x _k; J₁, J₂,..., J_k) показывает, на сколько правдоподобны значения СВ X, полученные в выборке объема n при некоторых параметрах J₁, J₂,..., J_k. Если J₁, J₂,..., J_k - истинные значения, то, очевидно, что T(x₁, x ₂,..., x _k; J₁, J₂,..., J_k) > T(x₁, x ₂,..., x _k; q₁, q₂,..., q_k), где q₁, q₂,..., q_k - значения отличные от истинных. Следовательно в качестве оценок Q₁, Q₂,..., Q_k неизвестных параметров выбирают такие, при которых функция правдоподобия принимает максимальное значение, т.е. T(x₁, x ₂,..., x _k; Q₁, Q₂,..., Q_k) = max. Тогда решение следующей системы из k уравнений позволяет получить оценки Q₁, Q₂,..., Q_k неизвестных параметров

Для упрощения вычисления МП-оценок удобно рассматривать логарифм функции правдоподобия, т.е. ln T(x₁, x ₂,..., x _k; J₁, J₂,..., J_k). Свойства МП-оценок:

n оценки являются несмещенными и состоятельными;

n при больших значениях n (n > 10... 20) эти оценки имеют закон распределения, близкий к нормальному.

Пример 7. С целью определения среднего трудового стажа на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование трудового стажа рабочих. Из всего коллектива рабочих завода случайным образом выбрано 400 рабочих, данные о трудовом стаже которых и составили выборку. Средний по выборке стаж оказался равным 9,4 года. Считая, что трудовой стаж рабочих имеет нормальный закон распределения, определить с вероятностью 0,97 границы, в которых окажется средний трудовой стаж для всего коллектива, если известно, что s = 1,7 года.

Решение. Признак Х – трудовой стаж рабочих. Этот признак имеет нормальный закон распределения с известным параметром s = 1,7, параметр а неизвестен. Сделана выборка объемом n = 400, по данным выборки найдена точечная оценка параметра а: _в = 9,4. С надежностью g = 0,97 найдем интервальную оценку параметра по формуле:

.

По таблице значений функции Лапласа (приложение 2) из уравнения
Ф (t)» = 0,485 находим t = 2,17; тогда:

9,4 – 0,18 < _ген < 9,4 + 0,18. Итак, 9,22 < _ген < 9,58, то есть средний трудовой стаж рабочих всего коллектива лежит в пределах от 9,22 года до 9,58 года (с надежностью g = 0,97).

С изменением надежности g изменится и интервальная оценка.

Пусть g = 0,99, тогда Ф (t) = 0,495, отсюда t = 2,58. Тогда:

или 9,4 – 0,22 < _ген < 9,4 + 0,22.

Окончательно: 9,18 < _ген < 9,62.

Пример 8. С целью определения средней продолжительности рабочего дня на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование продолжительности рабочего дня сотрудников. Из всего коллектива завода случайным образом выбрано 30 сотрудников. Данные табельного учета о продолжительности рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность рабочего дня оказалась равной 6,85 часа, а S = 0,7 часа. Считая, что продолжительность рабочего дня имеет нормальный закон распределения, с надежностью g = 0,95 определить, в каких пределах находится действительная средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива данного предприятия.

Решение. Признак Х – продолжительность рабочего дня. Признак имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Сделана выборка объемом n = 30, по выборочным данным найдены точечные оценки параметров распределения: _в = 6,85; S = 0,7. С надежностью g = 0,95 найдем интервальную оценку параметра по формуле:

t_g находим по таблице (прил. 6), t_g = t (0,95; 30) = 2,045. Тогда:

, или 6,85 – 0,26 < _ген < 6,85 + 0,26.

Итак, 6,59 < _ген < 7,11, то есть с надежностью g = 0,95 средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива лежит в пределах от 6,59 до 7,11 ч.

Интервальные оценки (доверительные интервалы)

Доверительным интервалом (ДИ) для параметра J, соответствующим доверительной вероятности g (обычно g = 0,95), называется интервал J_g(J) = (, ), где и - нижняя и верхняя границы, которые определяются по выборочным данным так, чтобы , т.е. вероятность “накрытия” интервалом неизвестного значения параметра J равна доверительной вероятности (уровню доверия) g. Нижняя и верхняя границы доверительного интервала являются СВ так как определяются по результатам наблюдений. Полуширина доверительного интервала определяет точность оценки, а g = 1 - a - ее достоверность, a - уровень значимости.

Постановка задачи. Пусть СВ X ~ N(m, s). По выборке объема n требуется построить ДИ для параметров m и s с уровнем доверия g, т.е.:

J_g(m) = (, ) и J_g(s) = (, ).

ДоверительныЙ интервал J_g(m) = (, )

Случай I (s = s₀ - известная величина). Будем искать симметричный ДИ в виде J_g(m) = (, ) = ( -e, +e), где - выборочное среднее параметра m. Тогда остается найти e > 0, соответствующее доверительной вероятности g, чтобы P{ -e < m < +e} = g. Если X ~ N(m, s₀), тогда СВ ~ N(m, s₀/ ). Следовательно . Тогда e = d×s₀/ и 2Ф(d) - 1 = g. Определим из этих двух уравнений d и e.

Очевидно, что d = t_(g+1)/2 - квантиль уровня (g+1)/2 нормального распределения, который находится по соответствующим таблицам.

Тогда e(g) = t_(g+1)/2×s₀/ . Тем самым получен ДИ для параметра m следующего вида:

J_g(m) = (, ) = ( -e, +e), где и e = t_(g+1)/2×s₀/ .

Пример. Измеряется глубина проникания L с помощью прибора, которое имеет среднеквадратичное отклонение погрешности измерения s₀ = 10 мм. Проведено четыре измерения и определено выборочное среднее = 152 мм. Считая, что L ~ N(m, s₀), определить доверительный интервал глубины L с уровнем доверия g = 0,9.

Решение. Сначала определим квантиль уровня 0,95 нормального распределения: t_(g+1)/2 = t_0,95 = 1,65.

Следовательно J_0,95(m) = (, ) = ( - e, + e), где e = t_0,95×s₀/ = 1,65×10/2 = 8,25. Тогда J_0,95(m) = ± e = 152 ± 8,3 мм.

Задача 2. Как изменится доверительный интервал глубины L в рассмотренном примере, если доверительная вероятность g уменьшиться в 1,5 раза? Как изменится доверительная вероятность g, если в два раза увеличить число измерений?

ДоверительныЙ интервал J_g(m) = (, )

Случай II (s - неизвестная величина). Будем искать симметричный ДИ в виде J_g(m) = ( -e, +e), где - выборочное среднее параметра m. Для построения “точного” ДИ воспользуемся тем, что СВ ~ t_n-1, где - точечная оценка дисперсии D[X]. Если s_(g+1)/2 - квантиль уровня (g+1)/2 распределения Стьюдента с (n-1) степенью свободы, то справедливо следующее:

P{½T½ < s_(g+1)/2} = P{-s_(g+1)/2 < T < s_(g+1)/2} = P{T < s_(g+1)/2} - P{T < -s_(g+1)/2} = P{T < s_(g+1)/2} - P{T < s_(1-g)/2} = (g+1)/2 - (1-g)/2 = g.

Тогда P{½ -m½ < s_(g+1)/2× } = g,

где S² - точечная оценка дисперсии D[X]. Следовательно e(g) = s_(g+1)/2× , где s² - выборочное значение дисперсии D[X]. Тем самым получен ДИ для параметра m следующего вида:

J_g(m) = (, ) = ( -e, +e), где , e = s_(g+1)/2× и .

Пример. Пусть измеряемая величина X ~ N(m, s) является пределом текучести материала. По четырем испытаниям установлены: выборочное среднее = 400 МПа и выборочное значение дисперсии s² = 16 (МПа)². Требуется определить ДИ для M[X] с уровнем значимости a = 0,1.

Решение. Сначала определим квантиль уровня 0,95 распределения Стьюдента с 3 степенями свободы: s_(g+1)/2 = t_{3; 0,05} = 2,35. Следовательно J_0,9(m) = ( - t_{3; 0,05} × , + t_{3; 0,05} × ) = (400 - 4,7; 400 + 4,7) МПа.