Решение систем линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей. Метод квадратного корня

Метод квадратного корня используется для решения линейных систем следующего вида:

Здесь - симметричная матрица, т.е. .

Метод квадратного корня относят к точным методам, поскольку при предположении, что вычисления проводят точно(без округлений), он позволяет получить точные значения неизвестных. На практике же все вычисления ведутся с округлениями, поэтому значения неизвестных неизбежно будут иметь погрешности.

Решение системы (1) проводится в два этапа:

Прямой ход. Поскольку A- симметричная матрица, то ее можно представить в в иле произведения двух взаимно транспонированных между собой треугольных матриц

Перемножим матрицы , полученную матрицу приравняем к матрице А. Получим следующие формулы для нахождения неизвестных :

Так как матрица А представима в виде (2), то систему (1) можно эквивалентным образом заменить двумя системами уравнений вида:

(3)

Обратный ход. Запишем в развернутом виде системы (3):

и

Отсюда последовательно находим:

Метод квадратного корня более удобен и экономичен по сравнению с методом Гаусса. Он легко программируется. Алгоритм этого метода основан на формулах (3), (4) и (5).

Правило Крамера

Если определитель матрицы А системы из n уравнений с n неизвестными не равен нулю, то ее решение можно найти по формуле:

где –определитель, полученный из заменой k-го столбца столбцом из свободных членов системы.

Ранг матрицы.

Минором k-го порядка матрицы А, состоящей из m строк и n столбцов, будем называть определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, находящихся на пересечение любых k строк и k столбцов матрицы А. Миноров первого порядка у матрицы столько, сколько у нее элементов.

Пример. У матрицы

можно составить лишь три минора второго порядка:

и шесть миноров первого порядка.

Если у матрицы существует хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры порядка r+1 равны нулю,то число r называется рангом матрицы и обозначается .

Теорема об инвариантности ранга матрицы. Ранг матрицы не изменяется после ее элементарных преобразований.

Теорема о ранге ступенчатой матрицы. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.