Дифференциальное исчисление.

Вопросы к контрольной работе 2.

Предел функции.

1. Понятие функции. Определение. Область определения, область допустимых значений функции. Способы задания. Суперпозиция функций. Понятие обратной функции. Примеры.
2. Свойства функций (четность, нечетность, периодичность, монотонность, выпуклость, вогнутость, экстремумы). Элементарные функции. Примеры.
3. Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).
4. Арифметические операции с последовательностями, имеющими пределы (доказательство).
5. Понятия бесконечно малой, бесконечно большой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой (доказательство).
6. Монотонные последовательности. Достаточные условия существования предела. Примеры.
7. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).
8. Понятие предела функции в точке. Определения на языке последовательностей и на языке έ – δ, на языке окрестностей. Доказательство их эквивалентности.
9. Односторонние пределы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела функции в точке (доказательство).
10. Теоремы об арифметических операциях с функциями, имеющими пределы (доказательства).
11. Связь понятий предела функции в точке и бесконечно малой функции (доказательство).
12. Пределы монотонных ограниченных функций. Примеры.
13. Определение непрерывности функции в точке и в области. Классификация разрывов функции..
14. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль на замкнутом интервале (Больцано-Коши) (доказательство).
15. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции на замкнутом интервале (Больцано-Коши). Доказательство.
16. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования обратной функции. Примеры.
17. Теоремы о наибольшем и наименьшем значениях функции, непрерывной на замкнутом интервале (Вейерштрасс). Примеры.

Дифференциальное исчисление.

1. Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной. Бесконечные производные. Интерпретация.
2. Односторонние производные функций. Теорема о существовании производной в точке. (доказательство).
3. Правила вычисления производной суммы, произведения и частного функций (доказательства).
4. Вывод формул вычисления производной сложной функции и обратной функции (доказательства).
5. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала первого порядка (доказательство).
6. Теорема о связи дифференцируемости функции и существовании производной (доказательство).
7. Теорема Ферма (об обращении производной в нуль). Графическая интерпретация. Доказательство.
8. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях). Геометрическая интерпретация. Доказательство.
9. Вывод формулы Маклорена для полинома.
10. Формула Тейлора для гладкой функции. Представления остаточного члена.
11. Необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции (доказательство с использованием формулы Лагранжа или двучленной формулы Тейлора).
12. Необходимые и достаточные условия локального экстремума непрерывной функции (доказательства для максимума и минимума с использованием трехчленной формулы Тейлора).
13. Теоремы о выпуклости (вогнутости) графика непрерывной функции. Точки перегиба. (доказательство с использованием трехчленной формулы Тейлора).

Литература

1.Лекции.

2.Домашние задания.

3.Семинары.

4. Самостоятельные работы.

4.Кремер, Письменный, Осипов, Сивашинский и др. литература.