Гармонические колебания

Тригонометрические функции используются для описания различных колебательных процессов: колебания груза, подвешенного на пружине, вокруг положения равновесие, закон изменения переменного тока в цепи, колебания маятника, распространение звуковых и цветовых волн и т.д.

Формулы и , с помощью которых описываются такие процессы, называются формулами гармонических колебаний. Положительная величина А называется амплитудой колебания, положительная величина w – частотой колебания, величина j – начальной фазой колебания. Амплитуда характеризует размах колебания, частота – количество колебаний в единицу времени.

Построение графиков гармонических колебаний (гармоник) , производится в несколько этапов.

Рассмотрим алгоритм построения графика функции : а) строим график функции ; б) строим график функции , сдвигая график функции на | j | единиц по оси ОХ (если , то сдвигаем влево, если , то сдвигаем вправо); в) строим график функции , сжимая его в w раз к оси OY; г) строим график функции , растягивая его в A раз от оси ОХ.

Заметим, что функции и , описывающие гармонические колебания, являются периодическими с периодом . Они ограничены сверху и снизу, их наибольшее и наименьшее значения равны .

Пример 15. Постройте график гармонического колебания .

Решение. Для этой гармоники амплитуда , частота – , начальная фаза – .

Строим график функции ; сдвигаем на единиц по оси ОХ вправо; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис. 38).

Пример 16. Постройте график гармонического колебания .

Решение. Преобразуем формулу, раскрыв в аргументе косинуса скобки: . Следовательно, для этой гармоники амплитуда , частота – , начальная фаза – .

Строим график функции ; сдвигаем график на единиц по оси ОХ вправо; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис. 39).

Пример 17. Постройте график гармонического колебания .

Решение. Эта формула не задает гармоническое колебание, так как . Применив формулу приведения , преобразуем формулу к виду: . Следовательно, для этой гармоники амплитуда , частота – , начальная фаза – .

Строим график функции ; сдвигаем на единиц по оси ОХ влево; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис. 40).

Упражнения

16. Постройте графики функций:

а) ; б)

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

Литература

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. / А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев. М.: Изд-во «Просвещение», 1980.

2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / A.Ф. Бермант. – М.: Изд-во физ-мат. литературы, 1963.

3. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа, т.1 / К.А. Бохан, И.А. Егорова, К.В. Лащенов. – М.: Изд-во «Просвещение», 1972.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Изд-во «Просвещение», 1988.

5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа / В.С. Крамор. – М.: Изд-во «Просвещение», 1990.

6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Изд-во «Наука», 1986.

7. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций. / М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во «Наука», 1980.

8. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – М.: Изд-во «Наука», 1984.

9. Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования / С.И. Туманов. – М.: Изд-во «Просвещение», 1970.

10. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы / Сост. И.Л. Никольская. – М.: Изд-во «Просвещение», 1991.

11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Изд-во «Наука», 1966.

12. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику / Э.З. Шувалова, Б.Г. Агафонов, Г.И. Богатырев. – М.: Изд-во «Высшая школа», 1969.

Оглавление

Введение...................................................................................... 3

§ 1. Множества. Операции над множествами. Числовые множества 6

§ 2. Понятие функции................................................................. 9

§ 3. Сложная функция............................................................... 12

§ 4. Обратная функция.............................................................. 13

§ 5. Свойства функций............................................................. 15

§ 6. Основные элементарные функции.................................. 19

§ 7. Линейные преобразования графиков функций.............. 34

§ 8. Линейные и квадратичные функции............................... 38

§ 9. Построение графиков........................................................ 41

дробно-линейных функций..................................................... 41

§ 10. Построение графиков функций, содержащих модуль. 43

§ 11. Гармонические колебания............................................... 46

Литература................................................................................. 50