Преобразования координат

Параллельный перенос. Гомотетия.

Симметрия. Аффинное преобразование.

Рассмотрим ряд преобразований, связанных с переходом из одной системы координат в другую. Здесь (х, у, z) и (х', у ', z ') - координаты произвольной точки Р соответственно в старой и новой системе координат.

Параллельный перенос. Передвинем систему координат X Y Z в трёхмерном пространстве так, чтобы оси OX, OY и OZ оставались параллельны самим себе, а начало координат О сместилось в точку О' (a, b, с). Получим новую систему координат X' Y' Z'.

Координаты точки Р в новой и старой системе координат связаны соотношениями:

Гомотетия с центром О (a, b, c) и коэффициентом k 0:

Симметрия относительно плоскости XOY:

Аффинное преобразование:

Плоскость

Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор.

Уравнение плоскости в отрезках на осях.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку и перпендикулярной заданному вектору.

Параметрическое уравнение плоскости.

Условие параллельности плоскостей.

Условие перпендикулярности плоскостей.

Расстояние между двумя точками.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями.

Угол между плоскостями.

Общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0,

где А, B и C не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости (т.е. вектора, перпендикулярного плоскости).

При А 0, В 0, С 0 и D 0 получаем уравнение плоскости в отрезках на осях:

где a = – D / A, b = – D / B, c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a, b и c.

Уравнение плоскости, проходящей через точку (х ₀, у ₀, z ₀) и перпендикулярной вектору (А, В, C):

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) + С (z – z ₀) = 0.

Параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точку (х ₀, у ₀, z ₀) и два неколлинеарных вектора (a ₁, b ₁, c ₁) и(a ₂, b ₂, c ₂), заданных в прямоугольной декартовой системе координат:

Условие параллельности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

AF – BE = BG – CF = AG – CE = 0.

Условие перпендикулярности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+Fу+ Gz+ H = 0:

АE+ ВF+ СG = 0.

Расстояние между двумя точками (х ₁, у ₁, z ₁) и(x ₂, y ₂, z ₂):

Расстояние от точки (х ₀, у ₀, z ₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0:

Расстояние между параллельными плоскостями Aх + By + Cz + D = 0 и Aх + By + Cz + Е = 0

Угол между плоскостями Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

Прямая

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

Параметрическое уравнение прямой. Уравнение линии

пересечения плоскостей. Условие параллельности прямых.

Условие перпендикулярности прямых. Угол между прямыми.

Угол между прямой и плоскостью.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х ₁, у ₁, z ₁) и (х ₂, у ₂, z ₂):

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (х ₀, у ₀, z ₀) и параллельной направляющему вектору прямой (a, b, с):

Пусть заданы две плоскости Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0, причём их нормальные векторы неколлинеарны, тогда система уравнений

описывает прямую – линию пересечения этих плоскостей.

Пусть (a, b, с) и (p, q, r) – направляющие векторы двух прямых, тогда имеем условие параллельности прямых:

угол между прямыми:

угол между прямой и плоскостью:

Уравнение сферы радиуса R с центром в точке (a, b, с)имеет вид:

(x – a) ² + (y – b) ² + (z – c) ² = R ².